1.3 Übungen
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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===Übung 1.3:1=== | ===Übung 1.3:1=== | ||
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| - | Bestimme alle stationären Punkte, die Sattelpunkte und die lokalen und globalen Extrempunkte der Funktion. Bestimme auch, | + | Bestimme alle stationären Punkte, die Sattelpunkte und die lokalen und globalen Extrempunkte der Funktion. Bestimme auch, in welchem Intervall die Funktion monoton steigend und fallend ist. |
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===Übung 1.3:2=== | ===Übung 1.3:2=== | ||
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| - | Bestimme alle lokalen Extrempunkte | + | Bestimme alle lokalen Extrempunkte und zeichne den Graph von |
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===Übung 1.3:3=== | ===Übung 1.3:3=== | ||
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| - | Bestimme alle lokalen Extrempunkte | + | Bestimme alle lokalen Extrempunkte und zeichne den Graph von |
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|a) | |a) | ||
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| - | Wo im ersten Quadrant | + | Wo muss im ersten Quadrant und auf der Kurve <math>y=1-x^2</math> der Punkt <math>P</math> liegen, sodass das Rechteck in der Figur die größtmögliche Fläche annimmt. |
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||{{:1.3 - Bild - Die Parabel y = 1 - x² mit einem Rektangel}} | ||{{:1.3 - Bild - Die Parabel y = 1 - x² mit einem Rektangel}} | ||
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| - | Aus einem 30 cm langen Metallblech baut man einen Kanal. Die Kanten werden parallel mit der Längsseite des Bleches aufgebogen -siehe Zeichnung. Für welchen Winkel <math>\alpha</math> kann der Kanal so viel Wasser wie möglich enthalten? | + | Aus einem 30 cm langen Metallblech baut man einen Kanal. Die Kanten werden parallel mit der Längsseite des Bleches aufgebogen - siehe Zeichnung. Für welchen Winkel <math>\alpha</math> kann der Kanal so viel Wasser wie möglich enthalten? |
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||{{:1.3 - Bild - Rinne}} | ||{{:1.3 - Bild - Rinne}} | ||
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===Übung 1.3:6=== | ===Übung 1.3:6=== | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Eine Tasse hat die Form eines Zylinders. Welche Abmessungen soll die Tasse haben, sodass | + | Eine Tasse hat die Form eines Zylinders. Welche Abmessungen soll die Tasse haben, sodass sie das größtmögliche Volumen V hat? |
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 1.3:6|Lösung|Lösung 1.3:6}} | </div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 1.3:6|Lösung|Lösung 1.3:6}} | ||
| Zeile 87: | Zeile 87: | ||
===Übung 1.3:7=== | ===Übung 1.3:7=== | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Ein Kreissektor wird von einer runden Scheibe ausgeschnitten | + | Ein Kreissektor wird von einer runden Scheibe ausgeschnitten. Die Scheibe die übrig bleibt wird zu einem Kegel geformt. Welchen Winkel soll der Kreissektor haben, damit der Kegel das größtmögliche Volumen bekommt? |
</div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 1.3:7|Lösung|Lösung 1.3:7}} | </div>{{#NAVCONTENT:Antwort|Antwort 1.3:7|Lösung|Lösung 1.3:7}} | ||
Version vom 11:59, 7. Aug. 2009
| Theorie | Übungen |
Übung 1.3:1
Bestimme alle stationären Punkte, die Sattelpunkte und die lokalen und globalen Extrempunkte der Funktion. Bestimme auch, in welchem Intervall die Funktion monoton steigend und fallend ist.
| a) |
| b) |
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| c) |
| d) |
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![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/3/6/c/36c6d4d37e0b3fc74d0df35ee94ec850.png)
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/e/c/0/ec0655f2f2d7e20cddf013b01fbd299a.png)
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/3/f/a/3fadb27533bd453e1b86362d65f8e744.png)
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/c/b/f/cbfbe26d9af3d32a2f6f7b11dfe5462e.png)
Antwort
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Lösung a
Lösung b
Lösung c
Lösung d
Übung 1.3:2
Bestimme alle lokalen Extrempunkte und zeichne den Graph von
| a) | \displaystyle f(x)= x^2 -2x+1 | b) | \displaystyle f(x)=2+3x-x^2 |
| c) | \displaystyle f(x)= 2x^3+3x^2-12x+1 | d) | \displaystyle f(x)=x^3-9x^2+30x-15 |
Antwort
Lösung a
Lösung b
Lösung c
Lösung d
Übung 1.3:3
Bestimme alle lokalen Extrempunkte und zeichne den Graph von
| a) | \displaystyle f(x)=-x^4+8x^3-18x^2 | b) | \displaystyle f(x)=e^{-3x} +5x |
| c) | \displaystyle f(x)= x\ln x -9 | d) | \displaystyle f(x)=\displaystyle\frac{1+x^2}{1+x^4} |
| e) | \displaystyle f(x)=(x^2-x-1)e^x when \displaystyle -3\le x\le 3 |
Antwort
Lösung a
Lösung b
Lösung c
Lösung d
Lösung e
Übung 1.3:4
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Wo muss im ersten Quadrant und auf der Kurve \displaystyle y=1-x^2 der Punkt \displaystyle P liegen, sodass das Rechteck in der Figur die größtmögliche Fläche annimmt. |
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![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/6/a/8/6a879a0e0075e3738edb770c4fb972bb.png)
Antwort
Lösung
Übung 1.3:5
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Aus einem 30 cm langen Metallblech baut man einen Kanal. Die Kanten werden parallel mit der Längsseite des Bleches aufgebogen - siehe Zeichnung. Für welchen Winkel \displaystyle \alpha kann der Kanal so viel Wasser wie möglich enthalten? |
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![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/8/6/0/8607c1119dac485e3910f0df120625af.png)
Antwort
Lösung
Übung 1.3:6
Eine Tasse hat die Form eines Zylinders. Welche Abmessungen soll die Tasse haben, sodass sie das größtmögliche Volumen V hat?
Antwort
Lösung
Übung 1.3:7
Ein Kreissektor wird von einer runden Scheibe ausgeschnitten. Die Scheibe die übrig bleibt wird zu einem Kegel geformt. Welchen Winkel soll der Kreissektor haben, damit der Kegel das größtmögliche Volumen bekommt?
Antwort
Lösung
