Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	A polynomial is said to have a triple root <math>z=c</math> if the equation contains the factor <math>(z-c)^3</math>.	+	Ein Polynom hat die dreifache Wurzel <math>z=c</math> wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.
-	For our equation, this means that the left-hand side can be factorized as	+	In unseren Fall bedeutet dies dass
	{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}}
-	according to the factor theorem, where <math>z=c</math> is the triple root and	+	wo <math>z=c</math> die dreifache Wurzel ist, und
-	<math>z=d</math> is the equation's fourth root (according to the fundamental theorem of algebra, a fourth-order equation always has four roots, taking into account multiplicity).	+	<math>z=d</math> die vierte Wurzel ist, nachdem ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat.
-	We will now try to determine <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> and <math>d</math> so that both sides in the factorization above agree.	+	Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math> sodass die obere Gleichung stimmt.
-	If we expand the right-hand side above, we get	+	Erweiten wir die rechte Seite, erhalten wir
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	and this means that we must have	+	und daher muss
	{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}
-	Because two polynomials are equal if an only if their coefficients are equal, this gives	+	Nachdem zwei Polynome gleich sind nur dann wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen
	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
-	From the first equation, we obtain <math>d=-3c</math> and substituting this into the second equation gives us an equation for <math>c</math>,	+	Von der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math>,
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	i.e. <math>c=-1</math> or <math>c=1</math>. The relation <math>d=-3c</math> gives that the corresponding values for <math>d</math> are <math>d=3</math> and <math>d=-3</math>. The two last equations give us the corresponding values for	+	also <math>c=-1</math> oder <math>c=1</math>. Nachdem <math>d=-3c</math> ist <math>d=3</math> oder <math>d=-3</math>. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir
-	<math>a</math> and <math>b</math>,	+	<math>a</math> und <math>b</math>,
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>
		+	Daher gibt es zwei mögliche Antworten,
-	Therefore, there are two different answers,	+	:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=-3</math>,
-	:*<math>a=8</math> and <math>b=-3</math> give the triple root <math>z=1</math> and the single root <math>z=-3</math>,	+	:*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=-1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=3</math>,
-		+
-	:*<math>a=10</math> and <math>b=-3</math> give the triple root <math>z=-1</math> and the single root <math>z=3</math>.	+

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Version vom 14:17, 21. Mai 2009

Ein Polynom hat die dreifache Wurzel \displaystyle z=c wenn das Polynom den Faktor \displaystyle (z-c)^3 enthält.

In unseren Fall bedeutet dies dass

\displaystyle z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)

wo \displaystyle z=c die dreifache Wurzel ist, und \displaystyle z=d die vierte Wurzel ist, nachdem ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat.

Wir bestimmen jetzt \displaystyle a, \displaystyle b, \displaystyle c und \displaystyle d sodass die obere Gleichung stimmt.

Erweiten wir die rechte Seite, erhalten wir

\displaystyle \begin{align} (z-c)^3(z-d) &= (z-c)^2(z-c)(z-d)\\[5pt] &= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt] &= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt] &= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d \end{align}

und daher muss

\displaystyle z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}

Nachdem zwei Polynome gleich sind nur dann wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen

\displaystyle \left\{\begin{align} 3c+d &= 0\,,\\[5pt] 3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt] -c^2(c-3d) &= a\,,\\[5pt] c^3d &= b\,\textrm{.} \end{align}\right.

Von der ersten Gleichung erhalten wir \displaystyle d=-3c und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für \displaystyle c,

\displaystyle \begin{align} 3c(c-3c) &= -6\,,\\[5pt] -6c^2 &= -6\,, \end{align}

also \displaystyle c=-1 oder \displaystyle c=1. Nachdem \displaystyle d=-3c ist \displaystyle d=3 oder \displaystyle d=-3. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir \displaystyle a und \displaystyle b,

\displaystyle \begin{align} c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1-3\cdot (-3)) = 8\,,\\[5pt] b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt] c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 10\,,\\[5pt] b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.} \end{align}

Daher gibt es zwei mögliche Antworten,

• \displaystyle a=8 und \displaystyle b=-3 ergibt eine dreifache Wurzel in \displaystyle z=1 und eine einfache Wurzel in \displaystyle z=-3,

• \displaystyle a=10 und \displaystyle b=-3 ergibt eine dreifache Wurzel in \displaystyle z=-1 und eine einfache Wurzel in \displaystyle z=3,