Lösung 2.2:3f

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Let's rewrite the integral somewhat,
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Wir schreiben das Integral wie
{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}</math>}}
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Here, we see that the factor on the right, <math>1/2\sqrt{x}</math>, is the derivative of the expression <math>\sqrt{x}</math>, which appears in the factor on the left, <math>2\sin \sqrt{x}\,</math>. With the substitution <math>u=\sqrt{x}</math>, the integrand can therefore be written as
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und sehan dass der Faktor <math>1/2\sqrt{x}</math> die Ableitung von <math>\sqrt{x}</math> ist. Durch die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> erhalten wir das Intagral
{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin u\cdot u'</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin u\cdot u'</math>}}
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and the integral becomes
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und also haben wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 13:31, 5. Mai 2009

Wir schreiben das Integral wie

\displaystyle 2\sin\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}

und sehan dass der Faktor \displaystyle 1/2\sqrt{x} die Ableitung von \displaystyle \sqrt{x} ist. Durch die Substitution \displaystyle u=\sqrt{x} erhalten wir das Intagral

\displaystyle 2\sin u\cdot u'

und also haben wir

\displaystyle \begin{align}

\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx &= \left\{ \begin{align} u &= \sqrt{x}\\[5pt] du &= (\sqrt{x}\,)'\,dx = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \end{align}\, \right\}\\[5pt] &= 2\int \sin u\,du\\[5pt] &= -2\cos u+C\\[5pt] &= -2\cos\sqrt{x} + C\,\textrm{.} \end{align}

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