Lösung 1.1:5

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Suppose that the tangent touches the curve at the point <math>(x_0,y_0)</math>. That point must, first and foremost, lie on the curve and therefore satisfy the equation of the curve, i.e.
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Wir nehmen an dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt <math>(x_0,y_0)</math> tangiert. Dieser Punkt liegt natürlich aug der Kurve, und erfüllt also
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>|(1)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>|(1)}}
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If we now write the equation of the tangent as <math>y=kx+m</math>, the slope of the tangent, ''k'', is given by the value of the curve's derivative, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, at <math>x=x_0</math>,
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Schreiben wir die Tangente wie <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, im Punkt <math>x=x_0</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>|(2)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>|(2)}}
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The condition that the tangent goes through the point <math>(x_0,y_0)</math> gives us that
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Die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt
{{Abgesetzte Formel||<math>y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}</math>|(3)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}</math>|(3)}}
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In addition to this, the tangent should also pass through the point (1,1),
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Und die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}</math>|(4)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}</math>|(4)}}
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Equations (1)-(4) constitute a system of equations in the unknowns <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> and <math>m</math>.
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Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>.
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Because we are looking for <math>x_0</math> and <math>y_0</math>, the first step is to try and eliminate ''k'' and ''m'' from the equations.
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Nachdem wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ersuchen, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m'',
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Equation (2) gives that <math>k = -2 x_0</math> and substituting this into equation (4) gives
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Die Gleichung (2) Gibt dass <math>k = -2 x_0</math> und dies in der Gleichung (4) gibt,
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}
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With ''k'' and ''m'' expressed in terms of <math>x_0</math> and <math>y_0</math>, (3) becomes an equation that is expressed completely in terms of <math>x_0</math>
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Jetzt haben wir ''k'', und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt, und die Gleichung (3) hat nur <math>x_0</math->
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and <math>y_0</math>,
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und <math>y_0</math>-Terme,
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}</math>|(3')}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}</math>|(3')}}
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This equation, together with (1), is a system of equations in <math>x_0</math> and <math>y_0</math>,
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Diese Gleichung, und die Gleichung (1), bilden ein Gleichungssystem für <math>x_0</math> und <math>y_0</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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Substituting equation (1) into (3') gives us an equation in <math>x_0</math>,
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Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}
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i.e.
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also
{{Abgesetzte Formel||<math>x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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This quadratic equation has solutions
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Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
-
Equation (1) gives the corresponding y-values,
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Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden ''y''-Wert,
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
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Thus, the answers are the points <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> and
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Also erhalten wir die Punkte <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> und
<math>(1+\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})\,</math>.
<math>(1+\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})\,</math>.
[[Image:1_1_5_3.gif|center]]
[[Image:1_1_5_3.gif|center]]

Version vom 10:48, 9. Apr. 2009

Wir nehmen an dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt \displaystyle (x_0,y_0) tangiert. Dieser Punkt liegt natürlich aug der Kurve, und erfüllt also

\displaystyle y_0 = -x_0^2\,\textrm{.} (1)

Schreiben wir die Tangente wie \displaystyle y=kx+m, ist die Steigung k dasselbe wie die Ableitung, \displaystyle y^{\,\prime} = -2x, im Punkt \displaystyle x=x_0,

\displaystyle k = -2x_0\,\textrm{.} (2)

Die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt \displaystyle (x_0,y_0) geht, gibt

\displaystyle y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.} (3)

Und die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt

\displaystyle 1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.} (4)

Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten \displaystyle x_0, \displaystyle y_{0}, \displaystyle k und \displaystyle m.

Nachdem wir \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0 ersuchen, eliminieren wir zuerst k und m,

Die Gleichung (2) Gibt dass \displaystyle k = -2 x_0 und dies in der Gleichung (4) gibt,

\displaystyle 1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}

Jetzt haben wir k, und m in Termen von \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0 ausgedrückt, und die Gleichung (3) hat nur \displaystyle x_0 und y_0-Terme,

\displaystyle y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.} (3')

Diese Gleichung, und die Gleichung (1), bilden ein Gleichungssystem für \displaystyle x_0 und \displaystyle y_0,

\displaystyle \left\{\begin{align}

y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt] y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.} \end{align}\right.

Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur \displaystyle x_0,

\displaystyle -x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,

also

\displaystyle x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.}

Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}

Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden y-Wert,

\displaystyle y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}

Also erhalten wir die Punkte \displaystyle (1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2}) und \displaystyle (1+\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})\,.

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