Lösung 1.1:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If we write the equation of the tangent as
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Wir schreiben die Tangente wie
{{Abgesetzte Formel||<math>y=kx+m</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y=kx+m</math>}}
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we know that the tangent's slope ''k'' is equal to the derivative of <math>y = x^2</math> at the point <math>x=1\,</math>, and since <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>, so
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Wir wissen dass die Steigung ''k'' der Tangente die Ableitung von <math>y = x^2</math> im Punkt <math>x=1\,</math> ist, und nachdem <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{.}</math>}}
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We can determine the constant ''m'' with the condition that the tangent should go through the grazing point (1,1), i.e. the point (1,1) should satisfy the equation of the tangent
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Wir bestimmen die Konstante ''m'' durch die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht.
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = 2\cdot 1 + m</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 = 2\cdot 1 + m</math>}}
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which gives that <math>m=-1</math>.
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Also ist <math>m=-1</math>.
[[Image:1_1_4_1.gif|center]]
[[Image:1_1_4_1.gif|center]]
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The normal to the curve <math>y=x^2</math> at the point (1,1) is the straight line which is perpendicular to the tangent at the same point.
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Der Normal zur <math>y=x^2</math> im Punkt (1,1) ist winkelrecht zur Tangent im selben Punkt.
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Because two straight lines which are perpendicular to each other have slopes which satisfy <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math>, the normal must have a slope which is equal to
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Nachdem Zwei winkelrechte Geraden <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math> erfüllen, hat der Normal die Steigung
{{Abgesetzte Formel||<math>-\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}
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The equation of the normal can therefore be written as
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Und daher ist der Normal
{{Abgesetzte Formel||<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>}}
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where ''n'' is some constant.
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Um ''n'' zu bestimmen verwenden wir die Bedienung dass der Normal durch den Punkt (1,1) geht,
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Since the normal must pass through the line (1,1), we can determine the constant ''n'' if we substitute the point into the equation of the normal,
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{{Abgesetzte Formel||<math>1=-\frac{1}{2}\cdot + n</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1=-\frac{1}{2}\cdot + n</math>}}
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and this gives <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>.
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und wir erhalten <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>.
[[Image:1_1_4-3(3).gif|center]]
[[Image:1_1_4-3(3).gif|center]]

Version vom 10:38, 9. Apr. 2009

Wir schreiben die Tangente wie

\displaystyle y=kx+m

Wir wissen dass die Steigung k der Tangente die Ableitung von \displaystyle y = x^2 im Punkt \displaystyle x=1\, ist, und nachdem \displaystyle y^{\,\prime} = 2x\,,

\displaystyle k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{.}

Wir bestimmen die Konstante m durch die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht.

\displaystyle 1 = 2\cdot 1 + m

Also ist \displaystyle m=-1.

Der Normal zur \displaystyle y=x^2 im Punkt (1,1) ist winkelrecht zur Tangent im selben Punkt.

Nachdem Zwei winkelrechte Geraden \displaystyle k_{1}\cdot k_{2} = -1\, erfüllen, hat der Normal die Steigung

\displaystyle -\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}

Und daher ist der Normal

\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+n

Um n zu bestimmen verwenden wir die Bedienung dass der Normal durch den Punkt (1,1) geht,

\displaystyle 1=-\frac{1}{2}\cdot + n

und wir erhalten \displaystyle n=\tfrac{3}{2}\,.

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