Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir benutzen die Definition der Ableitung als Grenzwert (mit h gegen Null) im Theorie-Teil dieses Kurses im Abschnitt 1.1 B :

\displaystyle \begin{align}f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} & wobei \ f(x)=\sqrt{x}\\ f'(x)&=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\ &=\lim_{h \to0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ & (binomische \ Formel :(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2})\\ &=\lim_{h \to 0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ &=\lim_{h \to 0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ &=\lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ \end{align}