Förberedande kurs i matematik 2

Teori

Övningar

Polynom och ekvationer

Ett uttryck på formen

\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0

där \displaystyle n är ett naturligt tal, kallas ett polynom av grad \displaystyle n i en obestämd variabel \displaystyle x. Talet \displaystyle a_1 kallas koefficienten för \displaystyle x, \displaystyle a_2 koefficienten för \displaystyle x^2, etc. Konstanten \displaystyle a_0 kallas konstanttermen.

Polynom är grundläggande för en stor del av matematiken och visar bl.a. upp stora likheter med våra heltal, vilket gör att vi kan räkna med polynom på liknande sätt som med heltalen.

Om \displaystyle p(x) är ett polynom av grad \displaystyle n så kallas \displaystyle p(x)=0 en polynomekvation av grad \displaystyle n. Om \displaystyle x=a är ett tal sådant att \displaystyle p(a)=0 så kallas \displaystyle x=a en rot, eller lösning till ekvationen. Man säger också att \displaystyle x=a är ett nollställe till \displaystyle p(x).

Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. \displaystyle 37 divideras med \displaystyle 5, får man

\displaystyle \frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}

Uträkningen kan även skrivas \displaystyle \ 37= 7\cdot 5+2\,. Talet 7 kallas kvot och talet 2 rest. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2.

Om \displaystyle p(x) och \displaystyle q(x) är polynom så kan man på liknande sätt dividera \displaystyle p(x) med \displaystyle q(x) och entydigt bestämma polynom \displaystyle k(x) och \displaystyle r(x) så att

\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,}

eller \displaystyle \ p(x)= k(x)\cdot q(x)+r(x)\,. Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten \displaystyle k(x) och resten \displaystyle r(x).

Det är uppenbart att en division går jämnt upp om resten är noll. För polynom uttrycks detta på följande sätt: Om \displaystyle r(x)=0 så är \displaystyle p(x) delbart med \displaystyle q(x), eller, \displaystyle q(x) är en delare till \displaystyle p(x). Man skriver

\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)\,\mbox{,}

eller \displaystyle \ p(x) = k(x)\cdot q(x)\,.

Polynomdivision

Om \displaystyle p(x) är ett polynom med högre grad än polynomet \displaystyle q(x) så kan man dividera \displaystyle p(x) med \displaystyle q(x). Det kan t.ex. göras genom att successivt subtrahera lämpliga multipler av \displaystyle q(x) från \displaystyle p(x) tills den återstående täljaren har lägre grad än \displaystyle q(x) i nämnaren.

Samband mellan faktorer och nollställen

Om \displaystyle q(x) är en delare till \displaystyle p(x) så gäller alltså att \displaystyle p(x)=k(x)\cdot q(x). Vi har därmed faktoriserat \displaystyle p(x) . Man säger att \displaystyle q(x) är en faktor i \displaystyle p(x). Speciellt gäller att om förstagradspolynomet \displaystyle (x-a) är en delare till \displaystyle p(x) så är \displaystyle (x-a) en faktor i \displaystyle p(x) , dvs.

\displaystyle p(x)= q(x)\cdot (x-a)\,\mbox{.}

Eftersom \displaystyle \ p(a)=q(a)\cdot (a-a)= q(a)\cdot 0 = 0\ så betyder detta att \displaystyle x=a är ett nollställe till \displaystyle p(x). Detta är precis innehållet i den s.k. faktorsatsen.

Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att \displaystyle x=a är ett nollställe till \displaystyle p(x) så vet man automatiskt att \displaystyle p(x) är delbart med \displaystyle (x-a).

Algebrans fundamentalsats

Vi införde i början av detta kapitel de komplexa talen för att kunna lösa andragradsekvationen \displaystyle x^2=-1 och man kan nu ställa sig den lite mer teoretiska frågan om detta räcker, eller behöver vi uppfinna fler typer av tal för att kunna lösa andra mer komplicerade polynomekvationer. Svaret på den frågan är att det behöver vi inte göra utan det räcker med de komplexa talen. Den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss bevisade år 1799 algebrans fundamentalsats som säger följande:

Eftersom varje nollställe enligt faktorsatsen motsvaras av en faktor, kan man nu också fastställa följande sats:

(Med multiplicitet menas att ett dubbelt nollställe räknas 2 gånger, ett trippelnollställe 3 gånger, osv.)

Notera att dessa satser bara säger att det finns komplexa rötter till polynom men inte hur man räknar ut dessa. I allmänhet finns det ingen enkel metod att skriva upp en formel för rötterna, utan för polynomekvationer av högre gradtal får vi använda diverse knep för att lösa. Om vi håller oss till polynom med reella koefficienter så är ett av dessa knep som kan hjälpa oss att polynomets komplexa rötter alltid är komplexkonjugerade.

En konsekvens av algebrans fundamentalsats (och faktorsatsen) är att alla polynom kan faktoriseras i en produkt av komplexa förstagradsfaktorer. Detta gäller även polynom med reella koefficienter, men för dessa går det att multiplicera ihop förstagradsfaktorer som hör till komplexkonjugerade rötter och få en faktorisering helt med reella första- och andragradsfaktorer.