1.2 Deriveringsregler
Förberedande kurs i matematik 2
| Teori | Övningar |
Innehåll:
- Derivata av en produkt och kvot
- Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln)
- Högre ordningars derivata
Färdigheter:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- I princip kunna derivera vilken elementär funktion som helst.
Derivering av produkt och kvot
Med hjälp av derivatans definition kan man också härleda deriveringsregler för produkter och kvoter av funktionsuttryck:
Deriveringsregler för produkter och kvoter:
| \displaystyle \begin{align*} D\,\bigl(\,f(x) \cdot g(x) \bigr) &= f^{\,\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\\[4pt] D\,\Bigl( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigr) &= \frac{f^{\,\prime}(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2} \end{align*} |
(Observera att derivering av produkter och kvoter inte är så enkelt som derivering av summor och differenser, där man kan derivera funktionsuttrycken termvis, dvs. var för sig!)
Exempel 1
- \displaystyle D\,(x^2 e^x) = 2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x = (2x +x^2)\,e^x\,.
- \displaystyle D\,(x \sin x) = 1\cdot \sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x \cos x\,.
- \displaystyle D\,(x \ln x -x) = 1 \cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 -1 = \ln x\,.
- \displaystyle D\,\tan x = D\,\frac{\sin x}{\cos x}
= \frac{ \cos x \cdot \cos x
- \sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2}
\vphantom{\biggl(}
\displaystyle \phantom{D\,\tan x}{} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{ \cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\,. - \displaystyle D\,\frac{1+x}{\sqrt{x}}
= \frac{\displaystyle 1 \cdot \sqrt{x}
- (1+x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2}
= \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}
- \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x}
\vphantom{\biggl(}
\displaystyle \phantom{D\,\frac{1+x}{\sqrt{x}}}{} = \frac {\displaystyle \frac {x-1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,. - \displaystyle D\,\frac{x\,e^x}{1+x}
= \frac{(1\cdot e^x + x\cdot e^x)(1+x)
- x\,e^x \cdot 1}{(1+x)^2}
\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \phantom{D\,\frac{x\,e^x}{1+x}}{} = \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2} = \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2}\,.
Derivering av sammansatta funktioner
En funktion \displaystyle y=f(g) där variabeln g i sin tur är beroende av en variabel x får formen \displaystyle y=f \bigl( g(x)\bigr) och kallas sammansatt funktion. Om man deriverar en sammansatt funktion med avseende på den oberoende variabeln x, använder man följande regel:
\displaystyle y'(x) = f^{\,\prime}\bigl( g(x) \bigr)
\cdot g'(x)\,\mbox{.}
|
Denna regel brukar kallas kedjeregeln och kan beroende på val av symboler skrivas på olika sätt. Om vi i ovanstående t.ex. sätter \displaystyle y=f(u) och \displaystyle u=g(x) kan kedjeregeln skrivas
\displaystyle \frac{dy}{dx}
= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\,\mbox{.}
|
Man brukar säga att den sammansatta funktionen y består av den yttre funktionen f och den inre funktionen g. Analogt kallas \displaystyle f^{\,\prime} för den yttre derivatan och \displaystyle g' den inre derivatan.
Exempel 2
För funktionen \displaystyle y=(x^2 + 2x)^4 är
| \displaystyle y=u^4 | yttre funktionen, och | \displaystyle u=x^2+2x | inre funktionen, |
| \displaystyle \dfrac{dy}{du}=4u^3 | yttre derivata, och | \displaystyle \dfrac{du}{dx}=2x+2 | inre derivata. |
Derivatan av funktionen y med avseende på x blir enligt kedjeregeln
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
= 4 u^3 \cdot (2x +2) = 4(x^2 + 2x)^3 \cdot (2x +2)\,\mbox{.}
|
När man vant sig vid kedjeregeln inför man sällan nya beteckningar för yttre och inre funktion, utan man lär sig känna igen dessa och deriverar ”rakt på”, enligt mönstret
\displaystyle (\text{yttre derivata})
\cdot (\text{inre derivata})\,\mbox{.}
|
Kom ihåg att även använda produkt- eller kvotregeln när detta är nödvändigt.
Exempel 3
- \displaystyle f(x) = \sin (3x^2 + 1)
\displaystyle \begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:} & \cos (3x^2 +1)\\ \text{Inre derivatan:} & 6x \end{array}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \cdot 6x = 6x \cos (3x^2 +1) - \displaystyle y = 5 \, e^{x^2}
\displaystyle \begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:} & 5\,e^{x^2}\\ \text{Inre derivatan:} & 2x \end{array}
\displaystyle y' = 5 \, e^{x^2} \cdot 2x = 10x\, e^{x^2} - \displaystyle f(x) = e^{x\cdot \sin x}
\displaystyle \begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:} & e^{x\cdot \sin x}\\ \text{Inre derivatan:} & 1\cdot \sin x + x \cos x \end{array}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = e^{x\cdot \sin x} (\sin x + x \cos x) - \displaystyle s(t) = t^2 \cos (\ln t)
\displaystyle s'(t) = 2t \cdot \cos (\ln t) + t^2 \cdot\Bigl(-\sin (\ln t) \cdot\frac{1}{t}\Bigr) = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t) - \displaystyle D\,a^x = D\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x = D\,e^{\ln a \cdot x} = e^{\ln a \cdot x} \cdot \ln a = a^x \cdot \ln a
- \displaystyle D\,x^a = D\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a = D\,e^{ a \cdot \ln x } = e^{a \cdot \ln x} \cdot a \cdot \frac{1}{x} = x^a \cdot a \cdot x^{-1} = ax^{a-1}
Kedjeregeln kan även användas upprepade gånger på en funktion som är sammansatt i flera steg. Exempelvis funktionen \displaystyle y= f \bigl( g(h(x))\bigr) har derivatan
\displaystyle y'= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr)
\cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\,\mbox{.}
|
Exempel 4
- \displaystyle D\,\sin^3 2x = D\,(\sin 2x)^3
= 3(\sin 2x)^2 \cdot D\,\sin 2x
= 3(\sin 2x)^2 \cdot \cos 2x \cdot D\,(2x)
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\cdot\cos 2x\cdot 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x - \displaystyle D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)
= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)
\cdot D\,(x^2 -3x)^4
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \cdot D\,(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \cdot (2x-3) - \displaystyle D\,\sin^4 (x^2 -3x)
= D\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot D\,\sin(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x) \cdot D(x^2 -3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x)\cdot (2x-3) - \displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)
= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot D\,\sqrt{x^3-1}
= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}}
\cdot D\,(x^3-1)
\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \phantom{\displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{} = e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}} \vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}
Derivator av högre ordningar
Om en funktion är deriverbar mer än en gång så pratar man om funktionens andra-, tredjederivata, osv.
Andraderivatan brukar betecknas \displaystyle f^{\,\prime\prime} (läses "f-biss"), medan tredje-, fjärdederivatan, etc., betecknas \displaystyle f^{\,(3)}, \displaystyle f^{\,(4)} osv.
Även beteckningarna \displaystyle D^2 f, \displaystyle D^3 f, \displaystyle \ldots\,, och \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}, \displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}, \displaystyle \ldots är vanliga.
Exempel 5
- \displaystyle f(x) = 3\,e^{x^2 -1}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot D\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}
\displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) - \displaystyle y = \sin x\,\cos x
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x - \displaystyle D\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x
= e^x (\sin x + \cos x)
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle D^2(e^x\sin x) = D\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{D^2(e^x\sin x)}{} = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2\,e^x \cos x \vphantom{\biggl(}
\displaystyle D^3 ( e^x \sin x) = D\,(2\,e^x \cos x) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{D^3 ( e^x \sin x)}{} = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )
