1.2 Deriveringsregler
Förberedande kurs i matematik 2
| Teori | Övningar |
Innehåll:
- Derivata av en produkt och kvot
- Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln)
- Högre ordningars derivata
Färdigheter:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- I princip kunna derivera vilken elementär funktion som helst.
Derivering av produkt och kvot
Med hjälp av derivatans definition kan man också härleda deriveringsregler för produkter och kvoter av funktionsuttryck:
Deriveringsregler för produkter och kvoter:
 f(x) g(x) D f(x)g(x) =f (x)g(x)+f(x)g(x)=g(x)2f(x)g(x)−f(x)g(x) |
(Observera att derivering av produkter och kvoter inte är så enkelt som derivering av summor och differenser, där man kan derivera funktionsuttrycken termvis, dvs. var för sig!)
Exempel 1
D(x2ex)=2x .ex+x2ex=(2x+x2)exD(xsinx)=1 .sinx+xcosx=sinx+xcosxD(xlnx−x)=1 .lnx+xx1−1=lnx+1−1=lnxDtanx=Dsinxcosx=(cosx)2cosx cosx−sinx(−sinx)
=cos2xcos2x+sin2x=1cos2x .D 
x1+x=(x)21x−(1+x)12x=x2x2x−12x−x2x
=x2 .xx−1=x−12xxDxex1+x=(1+x)2(1 ex+xex)(1+x)−xex1
=(1+x)2ex+xex+xex+x2ex−xex=(1+x)2(1+x+x2)ex .
Derivering av sammansatta funktioner
En funktion g(x)
| (x)=fg(x)g(x). |
Denna regel brukar kallas kedjeregeln och kan beroende på val av symboler skrivas på olika sätt. Om vi i ovanstående t.ex. sätter
| dxdu. |
Man brukar säga att den sammansatta funktionen y består av den yttre funktionen f och den inre funktionen g. Analogt kallas
Exempel 2
För funktionen
| yttre funktionen, och | inre funktionen, | ||
| yttre derivata, och | inre derivata. |
Derivatan av funktionen y med avseende på x blir enligt kedjeregeln
| dxdu=4u3(2x+2)=4(x2+2x)3(2x+2). |
När man vant sig vid kedjeregeln inför man sällan nya beteckningar för yttre och inre funktion, utan man lär sig känna igen dessa och deriverar ”rakt på”, enligt mönstret
| (inre derivata). |
Kom ihåg att även använda produkt- eller kvotregeln när detta är nödvändigt.
Exempel 3
f(x)=sin(3x2+1)
Yttre derivatan:Inre derivatan:cos(3x2+1)6x
f (x)=cos(3x2+1)6x=6xcos(3x2+1)y=5ex2
Yttre derivatan:Inre derivatan:5ex22x
y =5ex22x=10xex2f(x)=ex 
sinx
\displaystyle \begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:} & e^{x\cdot \sin x}\\ \text{Inre derivatan:} & 1\cdot \sin x + x \cos x \end{array}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = e^{x\cdot \sin x} (\sin x + x \cos x)- \displaystyle s(t) = t^2 \cos (\ln t)
\displaystyle s'(t) = 2t \cdot \cos (\ln t) + t^2 \cdot\Bigl(-\sin (\ln t) \cdot\frac{1}{t}\Bigr) = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t) - \displaystyle D\,a^x = D\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x = D\,e^{\ln a \cdot x} = e^{\ln a \cdot x} \cdot \ln a = a^x \cdot \ln a
- \displaystyle D\,x^a = D\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a = D\,e^{ a \cdot \ln x } = e^{a \cdot \ln x} \cdot a \cdot \frac{1}{x} = x^a \cdot a \cdot x^{-1} = ax^{a-1}
Kedjeregeln kan även användas upprepade gånger på en funktion som är sammansatt i flera steg. Exempelvis funktionen \displaystyle y= f \bigl( g(h(x))\bigr) har derivatan
\displaystyle y'= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr)
\cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\,\mbox{.}
|
Exempel 4
- \displaystyle D\,\sin^3 2x = D\,(\sin 2x)^3
= 3(\sin 2x)^2 \cdot D\,\sin 2x
= 3(\sin 2x)^2 \cdot \cos 2x \cdot D\,(2x)
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\cdot\cos 2x\cdot 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x - \displaystyle D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)
= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)
\cdot D\,(x^2 -3x)^4
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \cdot D\,(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \cdot (2x-3) - \displaystyle D\,\sin^4 (x^2 -3x)
= D\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot D\,\sin(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x) \cdot D(x^2 -3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x)\cdot (2x-3) - \displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)
= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot D\,\sqrt{x^3-1}
= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}}
\cdot D\,(x^3-1)
\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \phantom{\displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{} = e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}} \vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}
Derivator av högre ordningar
Om en funktion är deriverbar mer än en gång så pratar man om funktionens andra-, tredjederivata, osv.
Andraderivatan brukar betecknas \displaystyle f^{\,\prime\prime} (läses "f-biss"), medan tredje-, fjärdederivatan, etc., betecknas \displaystyle f^{\,(3)}, \displaystyle f^{\,(4)} osv.
Även beteckningarna \displaystyle D^2 f, \displaystyle D^3 f, \displaystyle \ldots\,, och \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}, \displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}, \displaystyle \ldots är vanliga.
Exempel 5
- \displaystyle f(x) = 3\,e^{x^2 -1}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot D\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}
\displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) - \displaystyle y = \sin x\,\cos x
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x - \displaystyle D\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x
= e^x (\sin x + \cos x)
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle D^2(e^x\sin x) = D\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{D^2(e^x\sin x)}{} = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2\,e^x \cos x \vphantom{\biggl(}
\displaystyle D^3 ( e^x \sin x) = D\,(2\,e^x \cos x) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{D^3 ( e^x \sin x)}{} = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )
