4. Trigonometri

Förberedande kurs i matematik 1

Nuvarande version

Vad är geometri?

Geometri är en mycket gammal vetenskap. Geometri är grekiska och betyder ”läran om rummet”. "Geo" står för jord och "metri" betyder mäta. Långt före Jesu födelse hade skickliga matematiker utvecklat geometrin.

Den kanske mest berömde är EUKLIDES (300-talet f.Kr). Han gav ut ett berömt verk med titeln ELEMENTA - där han sammanfattade sin tids matematiska vetande. På 1600-talet började man ifrågasätta en del av Euklides s.k. AXIOM och det utvecklades en ICKE-EUKLIDISK geometri som fick stor betydelse i olika sammanhang.

Trigonometri betyder "triangelmätning" och är en metod för att beräkna vinklar och sidor i rätvinkliga trianglar. Trigonometrin utvecklades några hundra år före Kristi födelse. En av de mest kända matematikerna då var HIPPARCHOS, som arbetade med cirkeln och kordor i cirkeln. För varje korda kunde han beräkna motsvarande cirkelbåges längd och på så sätt kunde han bestämma sidor och vinklar i trianglar. Detta hände 2200 år före miniräknarens tillkomst!

I detta kapitel ska vi se några exempel på hur geometriska objekt som linjer, parabler och cirklar beskrivs av ekvationer. På liknande sätt kan olika områden beskrivas av olikheter.

Enhetscirkeln är särskilt viktig

Cirkeln med radie 1 runt origo är speciellt viktig. I denna cirkel kan man sammanfatta olika vinkelbegrepp samt de trigonometriska funktionerna cosinus och sinus.

En vinkel svarar mot en punkt på enhetscirkeln, dess vinkelmått är sträckan längs cirkeln till punkten (1,0), cosinus för vinkeln är punktens x-komponent, sinus för vinkeln är y-komponenten av punkten.

Funktionerna cosinus och sinus används alltså för att översätta från vinklar till sträckor.

Om man är van att tänka på cosinus och sinus som förhållanden mellan sidorna i en rätvinklig triangel så är det viktigt att också fundera ordentligt på dessa funktioner i enhetscirkeln. Denna bild gör det lättare att förstå trigonometriska samband som periodicitet, trigonometriska ettan, samband för dubblering av vinkeln samt formler för derivator.

Att hantera och manipulera med trigonometriska uttryck är viktigt inom de flesta tillämpningar av matematiken. De avslutande avsnitten ger en grundlig övning på detta.

Tidigare räknades geometrin till de viktigare momenten inom matematikundervisningen. Under de senaste decennierna har den klassiska geometrin minskats ner i såväl gymnasiets som i högskolans kurser. Men, för den som kommer att syssla med bilder eller grafik eller med konstruktioner och design (t.ex. CAD), så är goda kunskaper i geometri mycket värdefulla.

Kunskaper i geometri är också väldigt bra att ha med sig ut i vardagslivet, där man ofta ställs inför geometriska problem och funderingar.

Observera att materialet i denna kursdel – liksom i övriga delar av kursen – är utformat för att man ska arbeta med det utan hjälp av miniräknare.