Förberedande kurs i matematik 1

Teori

Övningar

Goda råd

Förklara din lösning

Det viktigaste rådet är:

Förklara din lösning.

Lösningen ska inte bara vara en redovisning av vilka formler som du använt, utan också en beskrivning av hur du har tänkt. Använd ord till detta! För att få rätt nivå på lösningen: tänk dig att du förklarar lösningen för en klasskompis som har lite svårt att hänga med i alla steg. Du ska alltså inte förklara minsta lilla räkneoperation men inte heller hoppa över viktiga steg.

Lyder du bara rådet ovan så har du gjort 80% av vad som krävs för att skriva en fullgod lösning.

Skriv god svenska

Även om detta inte är en inlämningsuppgift i svenska och att det självklart är det matematiska innehållet som är viktigast så ska du tänka på saker som stavfel, grammatiska fel osv. Om din lösning har alltför många språkliga fel försämrar det kommunikationen med läsaren och påverka även lösningens trovärdighet.

Renskriv lösningen

Efter att du löst uppgiften bör du skriva om lösningen på nytt. Då kan du bättre koncentrera dig på hur du presenterar din tankegång och kanske även förbättra din ursprungliga lösning. Ett tips är att be någon annan läsa din lösning för att upptäcka oklarheter. Det är bra att skjuta upp presentationsfasen till senare så att när du löser uppgiften första gången kan arbeta friare och behöver inte binda upp dig vid ett bestämt sätt att lösa uppgiften på.

Ett tydligt svar

Skriv ett tydligt svar på slutet. Detta är speciellt viktigt om lösningen är lång och svaret finns utspritt i texten. Det finns dock uppgifter där själva lösningen är svaret (t.ex. "Visa att...") och då behövs förstås inget separat svar på slutet. Förenkla också svaret så långt som möjligt.

Pröva och kontrollera delsteg och svar

Ibland när man löser vissa ekvationer dyker det upp s.k. falska rötter som en konsekvens av det lösningssätt som man använt. I dessa fall, förklara varför eventuella falska rötter kan finnas och pröva lösningarna för att se vilka som är riktiga lösningar och vilka som är falska rötter.

En annan sak att se upp med är uteblivna lösningar. T.ex. om en faktor i båda led i en ekvation förkortas bort så riskerar lösningarna som ges av när faktorn är noll att försvinna.

En viktig del av uppgiften är att fundera ut metoder för att i rimlig utsträckning kontrollera svaret. Till exempel, stoppa in lösningen i ekvationen och förvissa sig om att det verkligen är en lösning eftersom man kan ju ha räknat fel (förväxla dock inte detta med prövningen av falska rötter). Detta kan man också göra för delsvar i en lösning.

En annan sak är att bedöma om svaret är rimligt. Stoppa in värden på vissa parametrar och se att man får rätt svar (vad händer om \displaystyle a = 0, \displaystyle a = 1 eller \displaystyle a går mot oändligheten?).

Rita tydliga figurer

En figur kan ofta förklara införda beteckningar bättre än text, så använd gärna figurer. Tänk dock på att rita dem tydliga och överlasta inte en figur med alltför många detaljer. Det kan vara bättre att ha flera nästan likadana figurer som var och en illustrerar en sak än en stor kombinationsfigur som ska förklara allt.

Behandla formler som en del av texten

Det är viktigt att du skriver din lösning på ett sätt som gör det enkelt för andra att följa med i resonemangen. Nedan presenterar vi några exempel på hur man ska och inte ska framställa texten när man använder formler i sin lösning.

Formler bör inte ses som något som hängs på texten (eller tvärt om) utan både text och formler ska integreras samman i ett linjärt flöde. Skriv därför inte förklarande text inom parenteser efter formler utan istället på raden innan.

Formler kan antingen skrivas inne i den löpande texten eller fristående. När formler skrivs fristående hamnar de på en egen rad och antingen centrerade eller något indragna.

Ett vanligt fel är att använda kolon framför alla fristående formler.

Eftersom en formel ska vara en del av texten så ingår den som en del av meningen. Tänk därför på hur du använder skiljetecken. Exempelvis, glöm inte att sätta ut en punkt efter en formel om den avslutar en mening.

Ett ofog är att i en lösning använda överdriven numrering, t.ex. sätta ut en siffra framför varje enskilt steg (numrering bör användas vid en ren uppräkning). De extra siffrorna tillför ofta inget utan blir mest distraherande. Man behöver sällan referera tillbaka till enskilda steg, och behöver man det kan man ofta skriva exempelvis "när vi kvadrerade ekvationen" osv.

Ibland vill man referera tillbaka till en viss fristående formel och då kan man numrera den med en siffra (eller stjärna) inom parenteser i höger eller vänster marginal.

Vanliga fel

Var noggrann med pilar och likheter

Det är skillnad mellan \displaystyle \Rightarrow (implikation), \displaystyle \Leftrightarrow (ekvivalens) och \displaystyle = (lika med). Mellan två ekvationer som man på förhand vet har samma lösningar används ekvivalenspilen \displaystyle \Leftrightarrow för att signalera detta.

Om vi däremot skriver "ekvation 1 \displaystyle \Rightarrow ekvation 2" så betyder det att alla lösningar som ekvation 1 har har också ekvation 2, men ekvation 2 kan dessutom ha fler lösningar.

Ofta skriver man inte ut \displaystyle \Leftrightarrow mellan två rader som direkt följer efter varandra eftersom ekvivalensen då är underförstådd. Många gånger är det också bättre att använda förklarande text istället för pilar mellan olika steg i lösningen. Använd inte implikationspilen \displaystyle \Rightarrow som en allmän fortsättningssymbol (i betydelsen "sedan har vi").

Likhetstecknet (\displaystyle =) används i två betydelser, dels mellan saker som är identiskt lika, t.ex. \displaystyle (x - 2)^2 = x^2 -4x + 4 som gäller för alla \displaystyle x, dels i ekvationer där båda led är lika för vissa \displaystyle x, exempelvis \displaystyle (x - 2)^2 = 4 som bara gäller för \displaystyle x = 0 eller \displaystyle x = 4. Du ska inte blanda dessa två olika användningar av samma tecken.

(Det finns också en tredje användning av likhetstecknet som förekommer när man definierar ett uttryck eller t.ex. en operation.)

Enkelpilen (\displaystyle \rightarrow) används i matematiken oftast vid olika typer av gränsvärden; \displaystyle a\to\infty betyder att \displaystyle a växer obegränsat (går mot oändligheten). Du kommer troligtvis inte behöva använda enkelpilen i denna kurs.

Slarva inte med parenteser

Eftersom multiplikation och division har högre prioritet än addition och subtraktion är det nödvändigt att stoppa in parenteser om man vill att additionen/subtraktionen ska utföras först. Eftersom vi har denna regel så ska du inte heller ha med onödiga parenteser.

I bokstavsuttryck utelämnar man ofta multiplikationstecknet. Exempelvis skriver man nästan aldrig \displaystyle 4 \cdot x \cdot y \cdot z utan \displaystyle 4xyz . Detta utelämnade multiplikationstecken binder ihop uttryck hårdare än multiplikation och division (men inte upphöjt till). När du därför skriver \displaystyle 1/2R så betyder det \displaystyle 1/(2R) och inte \displaystyle (1/2)R. Eftersom detta kan vara en källa till missförstånd så är det inte helt ovanligt att man skriver ut parenteserna i båda situationerna (även om de strikt sett bara är nödvändiga i det ena uttrycket).

Argument till de vanliga elementära funktionerna skriver man utan parenteser. Därför ska du inte skriva

\displaystyle \cos (x), \displaystyle \sin (x), \displaystyle \tan (x), \displaystyle \cot (x), \displaystyle \lg (x) och \displaystyle \ln (x)

utan

\displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x, \displaystyle \tan x, \displaystyle \cot x, \displaystyle \lg x och \displaystyle \ln x.

Det är t.o.m. så att man skriver \displaystyle \cos 2x och inte \displaystyle \cos(2x) (eftersom 2x är ett tätt ihopsatt uttryck), men däremot är parenteserna nödvändiga när man skriver \displaystyle \sin (x + y), \displaystyle \sin(x / 2), \displaystyle \sin (-x) eller \displaystyle (\sin x)^2 (som du, alternativt, kan skriva som \displaystyle \sin ^2\!x).