Tips och lösning till övning 17.28

Tips 1

Villkoret betyder att\displaystyle N(F) och \displaystyle V(F) skall ha gemensamma element. Då får inte dim\displaystyle N(F)=0. Alltså måste dim\displaystyle N(F) minst vara 1.

Tips 2

Det betyder att dim\displaystyle V(F)\leq2, men detta innebär att kolonnerna i matrisen är linjärt beroende.

Tips 3

Ett kriterium för linjärt beroende är att matrisens determinant =0, vilket ger krav på konstanten a.

Lösning

Vi vet att \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2), och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3) spänner upp \displaystyle V(F) samt bildar kolonnerna i avbildningsmatrisen \displaystyle A till \displaystyle F. Om dim\displaystyle V(F)=3 så är dim\displaystyle N(F)=0 och därmed är \displaystyle N(F)\cap V(F)=\emptyset. Vi behöver alltså välja \displaystyle a så att dim\displaystyle V(F)\leq2 och därmed att \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2), och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3) är linjärt beroende. Detta val av \displaystyle a medför att det\displaystyle A=0. Nu är det\displaystyle A=0 för \displaystyle a=-1,3.

a) För \displaystyle a=-1 är \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&2&-2\\-1&-1&1\end{pmatrix}. Här är \displaystyle N(F)=[(1,-1,0)^t] och \displaystyle V(F)=[(1,2,-1)^t,(3,-2,1)^t]. Snittmängden \displaystyle N(F)\cap V(F) är tom, ty \displaystyle )=[(1,-1,0)^t\notin V(F), ty sambandet

Alltså får vi \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&2&6\\3&{-1}&1\end{pmatrix}.

Vidare får vi \displaystyle N(F)=[(1,2,-1)^t] och \displaystyle V(F)=[(1,2,3)^t,(1,2,-1)^t]. Alltså är \displaystyle N(F)\cap V(F)=[(1,2,-1)^t].