Tips och lösning till övning 17.24

Tips 1

I denna övning måste du börja med att ta fram avbildningsmatrisen. Du kan för detta följa mönstret i övning 17.7.

Tips 2

Då matrisen är känd förfar du som tidigare, dvs först \displaystyle N(F) sedan \displaystyle V(F). Se tex hur du gjorde i övning 17.21.

Tips 3

Lösning

Det följer att \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)=\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3, \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3)=3\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3$, $F(-\backslash boldsymbol\{e\}\_1+\backslash boldsymbol\{e\}\_3)=5\backslash boldsymbol\{e\}\_1-\backslash boldsymbol\{e\}\_2+3\backslash boldsymbol\{e\}\_3$. Vi löser detta ekvationssystem (på smma sätt som i Övning 17.7) och får \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1)=-10\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2-6\boldsymbol{e}_3, \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2)=8\boldsymbol{e}_1+5\boldsymbol{e}_3 och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3)=-5\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-3\boldsymbol{e}_3.

Matrisen till \displaystyle F ges därmed av \displaystyle \begin{pmatrix}{-10}&8&{-5}\\2&0&1\\{-6}&5&{-3}\end{pmatrix}.

Vidare eftersom mängden \displaystyle \{F(\boldsymbol{e}_1,F(\boldsymbol{e}_2),F(\boldsymbol{e}_3)\} är linjärt beroende då \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1)=2F(\boldsymbol{e}_3), så är

Vi kan också ta en linjärkmbination i dessa vektorer för att spänna upp \displaystyle V(F), t.ex. \displaystyle V(F)=[(1,3,1)^t,(3,1,2)^t], där \displaystyle (1,3,1)^t=(8,0,5)^t+(-5,1,3)^t och \displaystyle (3,1,2)^t=2(8,0,5)^t+3(-5,1,3)^t.