Tips och lösning till övning 17.23

Tips 1

\displaystyle N(F) och \displaystyle V(F) tas fram som tidigare. Ur dessa väljes den nya basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}.

Tips 2

Den nya basens avbildningsmatris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} har kolonner som består av \displaystyle F(\boldsymbol{f}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{f}_2) och \displaystyle F(\boldsymbol{f}_3).

Tips 3

Man erhåller \displaystyle A_{\boldsymbol{f}}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&{-1}&0\\0&0&{-1}\end{pmatrix}

Genom att studera kolonnerna som är bilderna av basvektorerna kan man sluta sig till vad avbildningen betyder geometriskt. Det underlättar om du ritar figur!

Lösning

Vi får att \displaystyle N(F)=[\boldsymbol{f}_1=(1,1,1)^t] och \displaystyle V(F)=[\boldsymbol{f}_2=(-2/3,1/3,1/3)^t,\boldsymbol{f}_3=(1/3,-2/3,1/3)^t]. Matrisen \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} till \displaystyle F i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\} har kolonnerna \displaystyle F(\boldsymbol{f}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{f}_2) och \displaystyle F(\boldsymbol{f}_3). Eftersom \displaystyle F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{0}, \displaystyle F(\boldsymbol{f}_2)=-\boldsymbol{f}_2, och \displaystyle F(\boldsymbol{f}_3)=-\boldsymbol{f}_3, så är \displaystyle A_{\boldsymbol{f}}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&{-1}&0\\0&0&{-1}\end{pmatrix}. Matrisen är en produkt av två matriser enligt

Den första matrisen i produkten är matrisen för en ortogonal projektion på \displaystyle V(F)=[\boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3]=\{\boldsymbol{x}\in{\bf E}^3 :\ x_1+x_2+x_3=0\} och den andra är matrisen för en rotation moturs vinkeln \displaystyle \pi kring vektorn \displaystyle (1,1,1)^t. Alltså är \displaystyle F ortogonal projektion på planet \displaystyle V(F) följd av en vridning vinkeln \displaystyle \pi kring en axel parallell med \displaystyle (1,1,1)^t.