Tips och lösning till övning 17.20
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
a) Nollrummet erhålles ur \displaystyle AX=\boldsymbol{0}
b) Har \displaystyle V(F) och \displaystyle N(F) några gemensamma element?.
c) Räcker att med hjälp av matrisen \displaystyle A avbilda de vektorer som spänner upp \displaystyle V(F)
Tips 2
a) Genom Gausselimination erhålles \displaystyle X. \displaystyle N(F) spänns upp av denna enda vektor. Nu kan du söka \displaystyle V(F) som enl dimensionssatsen har dim=2. \displaystyle V(F) spänns upp av bilderna av basvektorerna. Dessa ser du i matrisen \displaystyle A. Ta bort den kolonnvektor som är en linjärkombination av de övriga. Resterande spänner upp \displaystyle N(F).
b) Räcker att visa att den vektor du fick fram i a) inte ligger i det plan som utgör \displaystyle V(F)
c) Resterande vektorer blir linjärkombinationer av de erhållna bilderna.
Tips 3
a)\displaystyle V(F) är ett plan vars ekvation bestämmes då du har beräknat normalen med hjälp av de återstående två vektorerna som spänner upp \displaystyle V(F).
c) \displaystyle V(F) avbildas alltså på sig själv.
Lösning
a) Nollrummet \displaystyle N(F) består av alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X som under \displaystyle F avbildas på nollvektorn, dvs
Löser vi ekvationssystemet får vi
\left(\begin{matrix}3&-1&-1\\ 2&\phantom{-}0&-1\\ 4&-2&-1\end{matrix}\ \right|\ \left.\begin{matrix}0\\ 0\\0\end{matrix}\right)
\quad\Leftrightarrow\quad X=t\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}.Vi ser alltså att \displaystyle N(F) spänns upp av endast vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}(1,1,2)^t. Detta betyder att dim\displaystyle N(F)=1, dvs en rät linje genom origo.
Enligt dimensionssatsen är dim\displaystyle V(F)=2 och underummet \displaystyle V(F)=[F(\boldsymbol{e}_1),F(\boldsymbol{e}_2),F(\boldsymbol{e}_3)]=[F(\boldsymbol{e}_1),F(\boldsymbol{e}_2)] är ett plan genom origo. En normal till detta plan är t.ex.
Geometriskt är underrummet \displaystyle V(F)=\{\boldsymbol{u}\in {\bf R}^3:\ 2x_1-x_2-x_3=0\}.
b) Eftersom \displaystyle (1,1,2)^t\notin V(F) så har \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F) inga gemensamma element.
c) Vidare gäller att \displaystyle F(\underline{\boldsymbol{e}}(3,2,4)^t)=\underline{\boldsymbol{e}}(3,2,4)^t och \displaystyle F(\underline{\boldsymbol{e}}(1,0,2)^t)=\underline{\boldsymbol{e}}(1,0,2)^t, dvs avbildas på sig själva.
