Tips och lösning till övning 17.38
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Grundidéen i denna typ av problem är att genomföra ett basbyte så att
- det blir lätt att ta fram avbildningsmatrisen \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i den nya basen
- det är ett byte mellan ON-baser (det blir ju lätt att ta fram inversen till basbytesmatrisen \displaystyle T genom att det räcker att transponera densamma)
Man avslutar sedan uppgiften genom att ta fram avbildningsmatrisen \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} för i den ursprungliga basen genom sambandet \displaystyle A_{\boldsymbol{e}=TA_{\boldsymbol{f}}T^t}
Tips 2
Tips 3
Lösning
a) Byt till en ny höger ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}, där \displaystyle \boldsymbol{f}_1 är en enhetsvektor parallell med
rotationsaxeln \displaystyle L, dvs
\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\2\\{-1}\end{pmatrix}. Vidare väljer vi t.ex., \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\{-1}\\2\end{pmatrix}
och till sist \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{f}_1\times\boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\{-2}\\{-2}.\end{pmatrix}
Bassambandet är
Avbildningsmatrisen i den nya basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} ges av \displaystyle A_{\boldsymbol{f}}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&{-1}\\0&1&0\end{pmatrix} och i den gamla basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av
A_{\boldsymbol{e}}&=TA_{\boldsymbol{f}}T^t=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&2&1\\2&{-1}&{-2}\\{-1}&2&{-2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&{-1}\\0&1&0\end{pmatrix}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&2&{-1}\\2&{-1}&2\\1&{-2}&{-2}\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&7&4\\1&4&{-8}\\{-8}&4&1\end{pmatrix}
\end{align}
b) Eftersom rotationen är kring samma linje som i a), så inför vi samma nya ON-bas. Dock är vinkeln här \displaystyle \theta=3\pi/2 och
avbildningsmatrisen är därmed \displaystyle B_{\boldsymbol{f}}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&{-1}&0\end{pmatrix}. Vi observerar att eftersom rotationen är 3 gånger vinkeln i a), så
är \displaystyle G=F^3 och därmed \displaystyle B_{\boldsymbol{f}}=A_{\boldsymbol{f}}^3.
Matrisen i den gamla basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av
c) Vi tolkar \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^4 som matrisen för an rotation 4 gånger vinkeln i a), dvs vinkeln \displaystyle 4\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi. Därmed har vi roterat tillbaka till ursprungsläger, så att \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^4=E.
