Tips och lösning till övning 17.27

Tips 1

dim\displaystyle V(F)=1 betyder att kolonnerna i avbildningsmatrisen A är linjärt beroende, ty kolonnerna är ju bilderna av basvektorerna som skall spänna upp \displaystyle V(F).

Tips 2

Ett kriterium kolonnerna är linjärt beroende är att dim\displaystyle detA=0

Tips 3

dim\displaystyle detA=0 ger dej en ekvation som ger a.

Lösning

Eftersom dim\displaystyle V(F)=1 och \displaystyle V(F)=[F(\boldsymbol{e}_1),F(\boldsymbol{e}_2),F(\boldsymbol{e}_3)]=[F(\boldsymbol{e}_1)], så är \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2), och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3) linjärt beroende. Då dessa är kolonner i \displaystyle A följer att det\displaystyle A=0.

Detta är uppfyllt om \displaystyle a=1. Alltså är \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&4&1\\1&4&1\\2&8&2\end{pmatrix} och \displaystyle V(F)=[(1,1,2)^t].