Tips och lösning till övning 17.19

Tips 1

För att visa att \displaystyle F är linjär kan du använda definition. I detta fall är det snabbare att först ta fram avbildningens matris eftersom det ändå ska göras. Om matrisen endast har konstanta element så är linjariteten säkrad.

Tips 2

Skriv avbildningen på formen \displaystyle F(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\begin{pmatrix}{5x_1+2x_2+4x_3}\\{2x_1+x_2+x_3}\\{4x_1+x_2+6x_3}\end{pmatrix}

Tips 3

Bryt ut \displaystyle \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix} och identifiera \displaystyle A. Matrisen för \displaystyle F^{-1} är matrisen \displaystyle A^{-1}.

Lösning

1. Vi kan alltid använda definitionen för att visa att \displaystyle F är linjär. Här väljer vi att visa att \displaystyle F har en avbildningsmatris \displaystyle A med konstanta element. Av förutsättningen följer att om \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X så är

Alltså, \displaystyle F har matrisen \displaystyle A ovan. Därmed är \displaystyle F linjär.

2. Eftersom \displaystyle A är inverterbar med inversen \displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}5&{-8}&{-2}\\{-8}&{14}&3\\{-2}&3&1\end{pmatrix}, så har \displaystyle F^{-1} matrisen \displaystyle A^{-1}.