Tips och lösning till övning 17.2

SamverkanLinalgLIU

Version från den 16 november 2008 kl. 19.14; Oweka (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Använd definition 16.3. Det är två saker du ska visa för att visa att avbildningen är linjär. Man kan ana hur det ligger till genom att tex inse att kvadrater inte skall förekoppa. Likaså skall nollvektorn avbildas på nollvektorn.

Tips 2

Man kan ana hur det ligger till genom att tex inse att kvadrater inte skall förekoppa. Likaså skall nollvektorn avbildas på nollvektorn (varför då?)

Tips 3 Exempel 16.9 kan vara en god vägledning.

Lösning

  • Vi visar att \displaystyle F_1 inte är linjär genom att visa att \displaystyle F_1 inte är homogen. Om \displaystyle \boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2, så är

\displaystyle \lambda\boldsymbol{u}=(\lambda x_1)\boldsymbol{e}_1+(\lambda x_2)\boldsymbol{e}_2. Då gäller att

\displaystyle \begin{align}

F_1(\lambda\boldsymbol{u})&=F_1(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2x_2)=(\lambda x_2)^2\boldsymbol{e}_1+(\lambda x_2)\boldsymbol{e}_2\\ 

             &=\lambda(\lambda x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)\neq\lambda(x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)=\lambda F_1(\boldsymbol{u}).
\end{align}

Alltså är \displaystyle F_1(\lambda\boldsymbol{u})\neq\lambda F_1(\boldsymbol{u}). Man kan också visa att \displaystyle F_1 inte är additiv.

  • 1. Vi visar först att \displaystyle F_2 är additiv. Låt \displaystyle \boldsymbol{u}_1=a_1\boldsymbol{e}_1+b_1\boldsymbol{e}_2 och \displaystyle \boldsymbol{u}=a_2\boldsymbol{e}_1+b_2\boldsymbol{e}_2. Då är
    \displaystyle \boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2=(a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2.

Vi får att

\displaystyle F_2(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=F_2((a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{(a_1+a_2)+(b_1+b_2)}{a_1+a_2}.
Av räknelagarna för matriser följer nu att
\displaystyle F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{a_1+b_1}{a_1}+\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{a_2+b_2}{a_2} =F_2(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2).

2. Vi visar nu att \displaystyle F_2 är homogen. Om \displaystyle \boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2, så är \displaystyle \lambda\boldsymbol{u}=\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2. Då är

\displaystyle F_2(\lambda\boldsymbol{u})=F(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2) =\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{\lambda x_1+\lambda x_2}{\lambda x_1} =\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{x_1+x_2}{x_1}=\lambda F(\boldsymbol{u}).

Alltså är \displaystyle F_2 linjär.

  • c) Eftersom
\displaystyle F_3(\lambda\boldsymbol{u})=F_3(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda x_1}\\{1}\end{pmatrix}\neq\lambda\begin{pmatrix}{x_1}\\{1}\end{pmatrix} =\lambda F_3(\boldsymbol{u}),

så är \displaystyle F_3 inte homogen och därmed inte linjär.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.2