Tips och lösning till övning 17.16
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Utnyttja att du i detta fall lätt tar fram normalen till hyperplanet. Vi har då i princip samma situation som i övning 17.12 ovan.
En normal till \displaystyle W är \displaystyle \boldsymbol{n}=(1,1,1,1)^t.
Tips 2
Projektionen av en godtycklig vektor \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t erhålles enligt
F(\boldsymbol{u})&=\boldsymbol{u}-\frac{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{n})}{||\boldsymbol{n}||^2}\cdot\boldsymbol{n}
\end{align}
Tips 3
Avsluta med att skriva om resultatet på formen AX där A är den sökta matrisen och X en kolonnmatris med \displaystyle \boldsymbol{u}:s koordinater.
Lösning
Underrummet \displaystyle W är ett hyperplan i \displaystyle {\bf E}^4. En normal till \displaystyle W är \displaystyle \boldsymbol{n}=(1,1,1,1)^t.
En godtycklig vektor \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t kan delas upp enligt
Eftersom \displaystyle W^{\perp}=[\boldsymbol{n}], så är \displaystyle P_{W^{\perp}}(\boldsymbol{u})=\frac{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{n})}{||\boldsymbol{n}||^2}\cdot\boldsymbol{n} och
P_{W}(\boldsymbol{u})&=\boldsymbol{u}-\frac{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{n})}{||\boldsymbol{n}||^2}\cdot\boldsymbol{n}\\
&=\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)
- \frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)\bigg|
\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\right)
\frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\\
&=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rr}3x_1-x_2-x_4-x_4\\-x_1+3x_2-x_3-x_4\\-x_1-x_2+3x_3-x_4\\-x_1-x_2-x_3+3x_4\end{array}\right).\\
&=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rrrr}3&-1&-1&-1\\-1&3&-1&-1\\-1&-1&3&-1\\-1&-1&3&-1\end{array}\right)
\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right).
\end{align}Matrisen är \displaystyle \frac{1}{4}\left(\begin{array}{rrrr}3&{-1}&{-1}&{-1}\\{-1}&3&{-1}&{-1}\\{-1}&{-1}&3&{-1}\\{-1}&{-1}&{-1}&3\end{array}\right).
