Tips och lösning till övning 17.11
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Använd projektionsformeln för projektion av en godtycklig vektor u på normalvektorn.
Tips 2
Skriv projektionsformeln!
\displaystyle \begin{align} G(\boldsymbol{u})&=\frac{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{n})}{||\boldsymbol{n}||^2}\cdot\boldsymbol{n} \end{align}
Tips 3
Skriv resultatet av projektionsformeln i formen AX där matrisen A kan identifieras.
Lösning
Normalen är \displaystyle \boldsymbol{n}=(1,1,1)^t. Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t var en godtycklig vektor.
Ortogonala projektionen av \displaystyle \boldsymbol{u} på \displaystyle \boldsymbol{n}
ges av
G(\boldsymbol{u})&=\frac{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{n})}{||\boldsymbol{n}||^2}\cdot\boldsymbol{n} =\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}{x_1+x_2+x_3}\\{x_1+x_2+x_3}\\{x_1+x_2+x_3}\end{pmatrix}
=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}.
\end{align}
Alltså, matrisen är \displaystyle \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}.
