Tips och lösning till övning 17.12

SamverkanLinalgLIU

Version från den 14 november 2008 kl. 15.05; Oweka (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Rita figur enligt exempel 16.14


Tips 2

Ur figur ser du att projektionen i planet = vektorn u - dess projektion på normalvektorn ( \displaystyle \boldsymbol{n}=(1,1,1)^t)


Tips 3

\displaystyle \begin{align}

F(\boldsymbol{u})&=\boldsymbol{u}-\frac{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{n})}{||\boldsymbol{n}||^2}\cdot\boldsymbol{n} 

                           =\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}-\frac{1}{3}\begin{pmatrix}{x_1+x_2+x_3}\\{x_1+x_2+x_3}\\{x_1+x_2+x_3}\end{pmatrix}\\
                       &=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}{2x_1-x_2-x_3}\\{2x_1-x_2-x_3}\\{2x_1-x_2-x_3}\end{pmatrix}
                        =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&{-1}&{-1}\\{-1}&2&{-1}\\{-1}&{-1}&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}.
\end{align}


Lösning


Ortogonala projektionen av \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t i ett plan med normalen \displaystyle \boldsymbol{n}=(1,1,1)^t ges av

\displaystyle \begin{align}

F(\boldsymbol{u})&=\boldsymbol{u}-\frac{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{n})}{||\boldsymbol{n}||^2}\cdot\boldsymbol{n} 

                           =\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}-\frac{1}{3}\begin{pmatrix}{x_1+x_2+x_3}\\{x_1+x_2+x_3}\\{x_1+x_2+x_3}\end{pmatrix}\\
                       &=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}{2x_1-x_2-x_3}\\{2x_1-x_2-x_3}\\{2x_1-x_2-x_3}\end{pmatrix}
                        =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&{-1}&{-1}\\{-1}&2&{-1}\\{-1}&{-1}&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}.
\end{align}

Alltså, matrisen är \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&{-1}&{-1}\\{-1}&2&{-1}\\{-1}&{-1}&2\end{pmatrix}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.12