Processing Math: 72%

SamverkanLinalgLIU

Innehåll [göm] 1 Definition av linjär avbildning 2 Matrisframställning 3 Projektion och spegling 4 Plan rotation 5 Rotation i rummet 6 Sammansatta linjära avbildningar 7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen 8 Basbyte 9 Linjära avbildningar och basbyte 10 Projektioner och speglingar med basbyte 11 Rotationer

Definition av linjär avbildning

Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning Bild:Kap16 1.pdf

Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.

Övningar

1. Låt 12 vara en bas i R2. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.

• F1(1x1+2x2)=x221+x22
• F2(X)=x1+x2x1 
• F3(X)=x11 

2. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen =123 ges av

F(X)=Y=x1−x22x2+3x32x1−x3G(X)=x1x2x22x2+x3.

Undersök om F är linjär. Skriv avbildningen som en matrisprodukt, Y=AX, där A inte beror på X. Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur A. Undersök om G är linjär.

3. Låt vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?

\displaystyle {\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad {\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.

4. Hej

5. Hej igen nu testar vi.

Matrisframställning

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 2.pdf

1. Låt \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Bestäm matrisen för den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow:{\bf R}^2, sådan att

\displaystyle F(3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2)=5\boldsymbol{e}_1+6\boldsymbol{e}_2,

Du ska nu testa rimligheten i svaret. Avbildningsmatrisen skriver Du i Maple enligt

> A:=matrix(2,2,[-13,11,-14,12]);


Den första urbilden skriver Du som

> u1:=matrix(2,1,[3,4]);

Använd nu multiplikations kommandot för att bestämma första bilden

> v1=multiply(A,u1);

Räknar Maple rätt?

Kontrollera nu den andra urbilden!

\displaystyle \begin{array}{l@{}c@{}r} z & = & a \\ f(x,y,z) & = & x + y + z\end{array}

Projektion och spegling

Plan rotation

Rotation i rummet

Sammansatta linjära avbildningar

Nollrum, Värderum och dimensionssatsen

Basbyte

Linjära avbildningar och basbyte

Projektioner och speglingar med basbyte

Rotationer