Tips och lösning till övning 17.10

Tips 1

1-4. Använd sats 16.11, dvs sök bilderna av basvektorerna.

Tips 2

1. \displaystyle x_1-axeln har riktning \displaystyle \boldsymbol{e}_1$,$ \backslash boldsymbol\{e\}\_2\; är\; ortogonal\; mot$ x\_1$$$-axeln.

2. Sök riktningsvektor och normalvektor till linjen. Projicera sedan dessa vektorer på linjen. Rita figur som hjälp! Detta leder till ett ekvationssystem där du kan lösa ut bilderna av basvektorerna.

3. Spegla nu riktningsvektor och normalvektor och förfar som under deluppgift 2.

4. Se deluppgift 2.

Tips 3

1. Genom att rita en figur så ser du vilka bildrna av basvektorerna blir.

2. Du får samma typ av ekvationssytem som i exempel 16.19 b fast med endast två ekvationer och två obekanta.

3. Se deluppgift 2.

4. Se deluppgift 2.

Lösning

1. Rita figur! Vi kallar speglingen för \displaystyle S. \displaystyle \boldsymbol{e}_1 är riktningsvektorn för \displaystyle x_1-axeln, den speglas på sig själv, dvs \displaystyle S(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}. Vidare speglas normalen \displaystyle \boldsymbol{e}_2 till \displaystyle x_1-axeln på motsatt riktning, dvs \displaystyle S(\boldsymbol{e}_2)-\boldsymbol{e}_2=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}0\\{-1}\end{pmatrix}. Matrisen ges alltså av \displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&{-1}\end{pmatrix}.

2. Rita figur! Låt \displaystyle P vara projektionen. Linjensekvation \displaystyle x_1+x_2=0 kan skrivas \displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}=0\end{pmatrix}. Ur detta ser vi att normalen är \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}. Linjens riktningsvektor är ortogonal mot normalen, t.ex., \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{-1}\\{1}\end{pmatrix}.

Alternativt kan vi parametrisera ekvationen \displaystyle x_1+x_2=0 genom att sätta \displaystyle x_2=t och får att \displaystyle x_1=-t som ger riktningsvektorn igen (\displaystyle t=1). Dessa vektorer projiceras enligt

Löser vi ekvationssystemet får vi att \displaystyle P(\boldsymbol{e}_1)=\frac{1}{2}(\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2) och \displaystyle P(\boldsymbol{e}_2)=\frac{1}{2}(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2). \displaystyle P har alltså matrisen \displaystyle \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&{-1}\\{-1}&1\end{pmatrix}.

3. Speglingen \displaystyle S avbildar riktningsvektorn \displaystyle -\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2 på sig själv och normalen \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2 på motsatt riktning, dvs

Löser vi systemet ovan får vi matrisen \displaystyle \begin{pmatrix}0&{-1}\\{-1}&0\end{pmatrix}

4. Se deluppgift 2 ovan. Matrisen är \displaystyle \frac{1}{25}\begin{pmatrix}9&{-12}\\{-12}&{16}\end{pmatrix}.