SamverkanLinalgLIU

1A. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^3. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.

1. \displaystyle F_1(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2^2\\ x_3^3\end{pmatrix}\,\mbox{.}
2. \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1+x_2\\ x_3\\ x_1-x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}
3. \displaystyle F_3(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(1+x_1)\boldsymbol{e}_1+(x_2+x_3)\boldsymbol{e}_2+x_2\boldsymbol{e}_3

Svar \displaystyle F_2

1B. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^3. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.

1. \displaystyle F_1(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(x_1-x_3)\boldsymbol{e}_1+2x_1\boldsymbol{e}_2+(x_1+x_3)\boldsymbol{e}_3
2. \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_1\cdot x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}
3. \displaystyle F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2+x_1\\ x_1+x_3\\ x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}

Svar \displaystyle F_1

2A. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} definieras genom

\displaystyle F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)=-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+5\boldsymbol{e}_3.

Svar \displaystyle \begin{pmatrix}0&2&-3\\0&1&1\\-5&5&-4\end{pmatrix}

2B. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} definieras genom

\displaystyle F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+5\boldsymbol{e}_3.

Svar \displaystyle \begin{pmatrix}1&-1&3\\-1&2&-1\\2&0&5\end{pmatrix}

3A. Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på planet \displaystyle x_1-x_2-x_3=0 i \displaystyle {\bf E}^3. Ange \displaystyle F:s matris i standardbasen.

Svar \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}

3B. Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på planet \displaystyle x_1+x_2-x_3=0 i \displaystyle {\bf E}^3. Ange \displaystyle F:s matris i standardbasen.

Svar \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}

4A. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Bestäm matrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} för följande linjära avbildningar:

1. rotation ett halvt varv i positiv led (dvs \displaystyle \boldsymbol{e}_1 till \displaystyle \boldsymbol{e}_2).
2. rotation vinkeln \displaystyle \pi/2 i negatitv led (dvs \displaystyle \boldsymbol{e}_2 till \displaystyle \boldsymbol{e}_1).

Svar

1.\displaystyle \begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix} 2.\displaystyle \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

4B. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Bestäm matrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} för följande linjära avbildningar:

1. rotation ett varv i positiv led (dvs \displaystyle \boldsymbol{e}_1 till \displaystyle \boldsymbol{e}_2).
2. rotation vinkeln \displaystyle \pi/3 i negatitv led (dvs \displaystyle \boldsymbol{e}_2 till \displaystyle \boldsymbol{e}_1).

Svar

1.\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
2.\displaystyle \begin{pmatrix}frac{1}{2}&-1\\1&frac{1}{2}\end{pmatrix}

5A. Låt \displaystyle F vara en ortogonalprojektion på ett plan vars avbildningsmatris är \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}. Låt sedan \displaystyle G vara en spegling i samma plan vars matris är \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{pmatrix}. Beräkna den matris som först ortogonalprojecerar i planet och därefter utför en spegling i planet.

Svar \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}

5B Låt \displaystyle F vara en ortogonalprojektion på ett plan vars avbildningsmatris är \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}. Låt sedan \displaystyle G vara en spegling i samma plan vars matris är \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&1&22\\2&2&1\end{pmatrix}. Beräkna den matris som först ortogonalprojecerar i planet och därefter utför en spegling i planet.

Svar \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}