Tips och lösning till övning 17.6

SamverkanLinalgLIU

Version från den 7 november 2008 kl. 12.35; Geoba (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

a) I matrisen A kan du se bilderna av basvektorerna. Se Sats 16.11. Hur kan du nu utnyttja denna kunskap?

b) Sambandet mellan bild (Y) och urbild (X) kan beskrivas med matrisekvationen AX=Y där A är avbildningens matris.

Tips 2

a) Skriv vektorn u som en linjärkombination av basvektorerna. Därefter utnyttjar du att F är linjär. Genom att bilderna av basvektorerna är kända kan du sedan beräkna bilden av u.

b) Vi söker alltså X i ekvationen AX=Y där Y är känd ( =vektorn v ). För detta ändamål behöver vi alltså inversen till matrisen A.

Tips 3


Lösning

Eftersom för varje \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X gäller att \displaystyle F(\boldsymbol{u})=F(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}AX, så gäller här att

\displaystyle F(\boldsymbol{u})=F\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2{-1}3\end{pmatrix}\right)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0&1&2\\5&{-1}&0\\4&0&{-2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\{-1}\\3\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}5\\{11}\\2\end{pmatrix}.

Om \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}Y är bilden av \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X under \displaystyle F, så gäller att

\displaystyle F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{v}\Leftrightarrow F(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}Y\Leftrightarrow\underline{\boldsymbol{e}}AX=\underline{\boldsymbol{e}}Y\Leftrightarrow AX=Y.

Om nu \displaystyle A är inverterbar, så får vi

\displaystyle X=A^{-1}Y\Leftrightarrow\underline{\boldsymbol{e}}X=\underline{\boldsymbol{e}}A^{-1}Y\Leftrightarrow\boldsymbol{u}=F^{-1}(\boldsymbol{v}).

Vi löser ekvationssytemet \displaystyle X=A^{-1}Y och får \displaystyle X=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}.


Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.6