SamverkanLinalgLIU

1a. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^3. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.

1. \displaystyle F_1(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2^2\\ x_3^3\end{pmatrix}\,\mbox{.}
2. \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1+x_2\\ x_3\\ x_1-x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}
3. \displaystyle F_3(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(1+x_1)\boldsymbol{e}_1+(x_2+x_3)\boldsymbol{e}_2+x_2\boldsymbol{e}_3

Svar \displaystyle F_2

1b. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^3. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.

1. \displaystyle F_1(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(x_1-x_3)\boldsymbol{e}_1+2x_1\boldsymbol{e}_2+(x_1+x_3)\boldsymbol{e}_3
2. \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_1\cdot x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}
3. \displaystyle F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2+x_1\\ x_1+x_3\\ x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}

Svar \displaystyle F_1

6a. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 4& 6\\ 2& 5& 9\\ 3& 6& 12\end{array}\right).

1. Bestäm \displaystyle N(F)
2. Bestäm \displaystyle V(F).

Svar 1. \displaystyle N(F)=[(2,1,-1)^t], 2. \displaystyle V(F)=[(1,2,3)^t,(4,5,6)^t].

6b. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 2& 2\\ 1& 4& 3\\ 5& 5& 5\end{array}\right).

1. Bestäm \displaystyle N(F)
2. Bestäm \displaystyle V(F).

Svar 1. \displaystyle N(F)=[(1,2,-3)^t], 2. \displaystyle V(F)=[(2,1,5)^t,(2,4,5)^t].

7a. Sambandet mellan två baser \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\} ges av

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 & &&+&\boldsymbol{e}_3\\

\boldsymbol{f}_3&=&&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}

Svar \displaystyle \begin{pmatrix}0\\2\\4\end{pmatrix}

7b. Sambandet mellan två baser \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\} ges av

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&&&+&\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &+ &\boldsymbol{e}_2&&\\

\boldsymbol{f}_3&=&&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}

Svar \displaystyle \begin{pmatrix}4\\-2\\-1\end{pmatrix}