Slask testovn

SamverkanLinalgLIU

1A. Låt =123 vara en bas i R3. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.

1. F1(X)=x1x22x33.
2. F2(X)=x1+x2x3x1−x2.
3. F3(x11+x22+x33)=(1+x1)1+(x2+x3)2+x23

Svar F2

1B. Låt =123 vara en bas i R3. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.

1. F1(x11+x22+x33)=(x1−x3)1+2x12+(x1+x3)3
2. F2(X)=x1x2x1x2.
3. F3(X)=2+x1x1+x3x3.

Svar F1

2A. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen F:R3R3 som i basen =123 definieras genom

F(1+2)=21+2F(2+3)=−1+22+3F(2)=21+2+53

Svar 00−5215−31−4

2B. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} definieras genom

Svar \displaystyle \begin{pmatrix}1&-1&3\\-1&2&-1\\2&0&5\end{pmatrix}

3A Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på planet \displaystyle -x_1+x_2+x_3=0 i \displaystyle {\bf E}^3. Ange \displaystyle F:s matris i standardbasen.

Svar \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}4&-1&-1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}

3B Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på planet \displaystyle x_1+x_2-x_3=0 i \displaystyle {\bf E}^3. Ange \displaystyle F:s matris i standardbasen.

Svar \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\-1&-1&4\end{pmatrix}