Tips och lösning till övning 17.28

Tips 1

Tips 2

Tips 3

Lösning

Vi vet att \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2), och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3) spänner upp \displaystyle V(F) samt bildar kolonnerna i avbildningsmatrisen \displaystyle A till \displaystyle F. Om dim\displaystyle V(F)=3 så är dim\displaystyle N(F)=0 och därmed är \displaystyle N(F)\cap V(F)\neq\emptyset. Vi behöver alltså välja \displaystyle a så att dim\displaystyle V(F)\leq2 och därmed att \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2), och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3) är linjärt beroende. Detta val av \displaystyle a medför att det\displaystyle A=0. Nu är det\displaystyle A=0 för \displaystyle a=3. Alltså får vi \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&2&6\\3&{-1}&1\end{pmatrix}.

Vidare får vi \displaystyle N(F)=[(1,2,-1)^t] och \displaystyle V(F)=[(1,2,3)^t,(1,2,-1)^t]. Alltså är \displaystyle N(F)\cap V(F)=[(1,2,-1)^t].