Tips och lösning till övning 17.20

SamverkanLinalgLIU

Version från den 31 oktober 2008 kl. 16.34; Tek (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök

Tips 1


Tips 2


Tips 3


Lösning


a) Nollrummet \displaystyle N(F) består av alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X som under \displaystyle F avbildas på nollvektorn, dvs

\displaystyle F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow F(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \underline{\boldsymbol{e}}AX=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow AX=\boldsymbol{0}.

Löser vi ekvationssystemet får vi

\displaystyle AX=\boldsymbol{0}\quad\Leftrightarrow\quad

\left(\begin{matrix}3&-1&-1\\ 2&\phantom{-}0&-1\\ 4&-2&-1\end{matrix}\ \right|\ \left.\begin{matrix}0\\ 4\\0\end{matrix}\right)

\quad\Leftrightarrow\quad X=t\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}.

Vi ser alltså att \displaystyle N(F) spänns upp av endast vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}(1,1,2)^t. Detta betyder att dim\displaystyle N(F)=1, dvs en rät linje genom origo.

Enligt dimensionssatsen är dim\displaystyle V(F)=2 och underummet \displaystyle V(F)=[F(\boldsymbol{e}_1),F(\boldsymbol{e}_2),F(\boldsymbol{e}_3)]=[F(\boldsymbol{e}_1),F(\boldsymbol{e}_2)] är ett plan genom origo. En normal till detta plan är t.ex.

\displaystyle F(\boldsymbol{e}_1)\times F(\boldsymbol{e}_2)=\left|\begin{array}{rrr}\boldsymbol{e}_1&\boldsymbol{e}_2&\boldsymbol{e}_3\\3&2&4\\1&0&2\\\end{array}\right| =\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}4\\{-2}\\{-2}\end{pmatrix}.

Geometriskt är underrummet \displaystyle V(F)=\{\boldsymbol{u}\in {\bf R}^3:\ 2x_1-x_2-x_3=0\}.

b) Eftersom \displaystyle (1,1,2)^t\notin V(F) så har \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F) inga gemensamma element.

c) Vidare gäller att \displaystyle F(\underline{\boldsymbol{e}}(3,2,4)^t)=\underline{\boldsymbol{e}}(3,2,4)^t och \displaystyle F(\underline{\boldsymbol{e}}(1,0,2)^t)=\underline{\boldsymbol{e}}(1,0,2)^t, dvs avbildas på sig själva.


Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.20