Tips och lösning till övning 17.21

SamverkanLinalgLIU

Version från den 31 oktober 2008 kl. 16.01; Geoba (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök

Tips 1


Tips 2


Tips 3


Lösning


Nollrummet \displaystyle N(F) är mängden av alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X som under \displaystyle F avbildas på nollvektorn, dvs

\displaystyle F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow F(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \underline{\boldsymbol{e}}AX=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow AX=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow X=t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}.

Alltså är \displaystyle N(F)=[(1,1,1)^t och dimensionssatsen ger att dim\displaystyle V(F)=2, så att underummet \displaystyle V(F)=[F(\boldsymbol{e}_1),F(\boldsymbol{e}_2),F(\boldsymbol{e}_3)]=[F(\boldsymbol{e}_1),F(\boldsymbol{e}_2)]=[(2,1,1)^t,(1,0,1)^t]) är ett plan genom origo. En normal till detta plan är t.ex. \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1)\times F(\boldsymbol{e}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}(1,-1,-1)^t. Alltså är \displaystyle V(F)=\{\boldsymbol{u}\in {\bf R}^3:\ x_1-x_2-x_3=0\}. Vidare, \displaystyle V(G) är mängden av alla bildvektorerna, så att \displaystyle V(G)=[(1,1,1)^t]. Nollrummet är mängden av urbilder som avbildas på nollvektorn. Detta är just det plan som har \displaystyle (1,1,1)^t som normal. Alltså \displaystyle N(G)=\{\boldsymbol{u}\in {\bf R}^3:\ x_1+x_2+x_3=0\}. Snittmängden \displaystyle V(F)\cap N(G) är skärningen mellan planen

\displaystyle \left\{\begin{array}{lcl}x_1-x_2-x_3&=&0\\x_1+x_2+x_3&=&0\end{array}\right.\Leftrightarrow\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\{-1}\end{pmatrix}.

Alltså, så är \displaystyle V(F)\cap N(G)=[\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3].

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.21