Tips och lösning till övning 17.10

Tips 1

Redovisningsuppgift.

Tips 2

Redovisningsuppgift.

Tips 3

Redovisningsuppgift.

Lösning

1. Rita figur! Vi kallar speglingen för \displaystyle S. \displaystyle \boldsymbol{e}_1 är riktningsvektorn för \displaystyle x_1-axeln, den speglas på sig själv, dvs \displaystyle S(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}. Vidare speglas normalen \displaystyle \boldsymbol{e}_2 till \displaystyle x_1-axeln på motsatt riktning, dvs \displaystyle S(\boldsymbol{e}_2)-\boldsymbol{e}_2=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}0\\{-1}\end{pmatrix}. Matrisen ges alltså av \displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&{-1}\end{pmatrix}.

2. Rita figur! Låt \displaystyle P vara projektionen. Linjensekvation \displaystyle x_1+x_2=0 kan skrivas \displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}=0\end{pmatrix}. Ur detta ser vi att normalen är \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}. Linjens riktningsvektor är ortogonal mot normalen, t.ex., \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{-1}\\{1}\end{pmatrix}.

Alternativt kan vi parametrisera ekvationen \displaystyle x_1+x_2=0 genom att sätta \displaystyle x_2=t och får att \displaystyle x_1=-t som ger riktningsvektorn igen (\displaystyle t=1). Dessa vektorer projiceras enligt