Tips och lösning till övning 17.7

Tips 1

a) I matrisen A kan du se bilderna av basvektorerna. Se Sats 16.11. Hur kan du nu utnyttja denna kunskap?

b) Sambandet mellan bild (Y) och urbild (X) kan beskrivas med matrisekvationen AX=Y där A är avbildningens matris.

Tips 2

a) Skriv vektorn u som en linjärkombination av basvektorerna. Därefter utnyttjar du att F är linjär. Genom att bilderna av basvektorerna är kända kan du sedan beräkna bilden av u.

b) Vi söker alltså X i ekvationen AX=Y där Y är känd ( =vektorn v ). För detta ändamål behöver vi alltså inversen till matrisen A.

Tips 3

Lösning

För att lösa ut de obekanta \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2), och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3)$ ur ekvationssytemet utnyttjar vi att \displaystyle F är linjär. Vänstra ledet i systemet kan då skrivas

Ekvationssytemet kan nu skrivas

                                                   & &F(\boldsymbol{e}_2) &&&=&-\boldsymbol{e}_1&+&2\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\

Utför vi radopertioner, rad 2 minus rad 1 rsp. rad 2 minus rad 3 får vi att

                                                   & &F(\boldsymbol{e}_2)&&&=&-\boldsymbol{e}_1&+&2\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\

Avbildningsmatrisen är därmed