Tips och lösning till övning 17.10

Tips 1

Redovisningsuppgift.

Tips 2

Redovisningsuppgift.

Tips 3

Redovisningsuppgift.

Lösning

1. Rita figur! Vi kallar speglingen för \displaystyle S. \displaystyle \boldsymbol{e}_1 är riktningsvektorn för \displaystyle x_1-axeln, den speglas på sig själv, dvs

                \displaystyle S(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\pvekt10. 
                Vidare speglas normalen \displaystyle \boldsymbol{e}_2 till \displaystyle x_1-axeln på motsatt riktning, dvs \displaystyle S(\boldsymbol{e}_2)-\boldsymbol{e}_2=\underline{\boldsymbol{f}}\pvektc0{-1}.
                Matrisen ges alltså av \displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&{-1}\end{pmatrix}.

             2. Rita figur! Låt \displaystyle P vara projektionen. Linjensekvation \displaystyle x_1+x_2=0 kan skrivas 

\\

               \displaystyle \pvekt11\cdot\pvekt{x_1}{x_2}=0. Ur detta ser vi att
               nprmalen är \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\pvekt11. Linjens riktningsvektor är ortogonal mot normalen, t.ex., \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\pvekt{-1}{1}.
               Alternativt kan vi parametrisera ekvationen \displaystyle x_1+x_2=0 genom att sätta \displaystyle x_2=t och får att \displaystyle x_1=-t som ger riktningsvektorn igen (\displaystyle t=1).
               Dessa vektorer projiceras enligt

                         P(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)&=&-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2\\
                         P(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)&=&\boldsymbol{0}
                         \end{array}\right.\Leftrightarrow
                     \left\{\begin{array}{lcl}
                         P(-\boldsymbol{e}_1)+P(\boldsymbol{e}_2)&=&-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2\\
                         P(\boldsymbol{e}_1)+P(\boldsymbol{e}_2)&=&\boldsymbol{0}

               Löser vi ekvationssystemet får vi att $P(\backslash boldsymbol\{e\}\_1)=\backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash boldsymbol\{e\}\_1-\backslash boldsymbol\{e\}\_2)\; och$\displaystyle P(\boldsymbol{e}_2)=\frac{1}{2}(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2).
               \displaystyle P har alltså matrisen \displaystyle \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&{-1}\\{-1}&1\end{pmatrix}.

             3. Speglingen \displaystyle S avbildare riktningsvektorn \displaystyle -\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2 på sig själv och normalen \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2 på motsatt riktning, dvs
                <center>\displaystyle \left\{\begin{array}{lcl}
                         S(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)&=&-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2\\
                         S(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)&=&-\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2

               Löser vi systemet ovan får vi matrisen 

             4. Se deluppgift 2. ovan. Matrisen är \displaystyle \frac{1}{25}\begin{pmatrix}9&{-12}\\{-12}&{16}\end{pmatrix}.