Tips och lösning till övning 17.3
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi använder idéerna från exempel 16.13. Grundidéen är att vi tar fram bilderna av basvektorerna. Dessa bildar kolonner i avbildningsmatrisen.
Tips 2
I detta fall kan vi helt följa exempel 16.13. Vi erhåller ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta (de sökta bilderna av basvektorerna). Med hjälp av basvektorernas bilder kan vi med stöd av Sats 16.11 skriva upp den sökta avbildningsmatrisen.
Tips 3
Lösning
Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}X_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_2}\\{b_2}\\{c_2}\end{pmatrix}. Vi behöver summan
och
\lambda\boldsymbol{u}=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}.
Avbildningen \displaystyle G är inte linjär, ty
T.ex., följer att
\begin{align}G(\lambda\boldsymbol{u})&=G\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right)=G\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1\cdot\lambda c_1}\\{\lambda^2b_1^2}\\{\lambda b_1+\lambda c_1}\end{pmatrix}\\
&=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1c_1}\\{\lambda b_1^2}\\{b_1+c_1}\end{pmatrix}\neq\lambda G(\boldsymbol{u}).\end{align}