Tips 1
Exempel 16.13 ger god vägledning. I denna övning vet vi redan att avbildningen är linjär så det utnyttjar vi.
Tips 2
För att ta fram matrisen så tar vi fram bilderna av basvektorerna. Dessa är kolonner i den sökta avbildningsmatrisen. Jämfört med exempel 16.13 så får du i detta fall "bara" ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta (bilderna av basvektorerna).
Tips 3
Du kan även ha stöd av att titta på Exempel 16.7.
Lösning
a) 1. Vi visar först att \displaystyle F är additiv. Av egenskaperna för vektorprodukt följer att
\displaystyle F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\times\boldsymbol{v})=(\boldsymbol{u}_1\times\boldsymbol{v})+(\boldsymbol{u}_2\times\boldsymbol{v})=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2).
2. Vi visar nu att \displaystyle F är homogen:
\displaystyle F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})=\lambda(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})=\lambda F(\boldsymbol{u}).
Alltså \displaystyle F är både additiv och homogen och därmed linjär.
b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att \displaystyle F är linjär:
\displaystyle \begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
\end{align}
och
\displaystyle F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda F(\boldsymbol{u}).
c) \displaystyle F är ej linjär. Vi visar att \displaystyle F inte är additiv:
\displaystyle \begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2) =((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2\\ &=\underline{(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1 +(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2+\underline{\underline{(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2}}\\ &=\underline{F(\boldsymbol{u}_1)}+\underline{\underline{F(\boldsymbol{u}_2)}}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2 \neq F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
\end{align}
Man kan också visa att \displaystyle F inte är homogen.
