Lösning
1. Bilden av basvektorerna bildar kolonnerna i avbildningsmatrisen. Det följar att
\displaystyle F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1\times\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1\times(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3)=-2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3,
\displaystyle F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_3\times\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_2\times(\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_3,
och
\displaystyle F(\boldsymbol{e}_3)=\boldsymbol{e}_3\times\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_3\times(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3)=-2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.
Avbildningsmatrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} är därför \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=\begin{pmatrix}0&2&{-2}\\{-2}&0&1\\2&{-1}&0\end{pmatrix}.
2. För att bestämma avbildningsmatrisen \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\basr{f} behöver vi bilden av basvektorerna,
\displaystyle F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1\times\boldsymbol{a}=\frac{1}{3}\boldsymbol{a}_1\times\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0},
\displaystyle F(\boldsymbol{f}_2)=\boldsymbol{f}_2\times\boldsymbol{a}=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)\times(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3)
=-2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3=-3\boldsymbol{f}_3=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}0\\0\\{-3}\end{pmatrix},
och
\displaystyle F(\boldsymbol{f}_3)=\boldsymbol{f}_3\times\boldsymbol{a}=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3)\times(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3)
=2\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3=3\boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}0\\{3}\\0\end{pmatrix}.
Alltså är \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&3\\0&{-3}&0\end{pmatrix}.
