Tips och lösning till övning 4

SamverkanLinalgLIU

Version från den 13 oktober 2008 kl. 13.47; Geoba (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök

Tips 1


Tips 2


Tips 3


Lösning

  • a) 1. Vi undersöker om \displaystyle F är additiv.

Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X_1={e}\begin{pmatrix}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}X_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_2}\\{b_2}\\{c_2}\end{pmatrix}. Då gäller att

\displaystyle \begin{align}

F(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})&=F\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1+a_2}\\{b_1+b_2}\\{c_1+c_2}\end{pmatrix}\right) 

                          =\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{(a_1+a_2)-(b_1+b_2)}\\{2(b_1+b_2)+3(c_1+c_2)}\\{2(a_1+a_2)-(c_1+c_2)}\end{pmatrix}\\

&=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1-b_1}\\{2b_1+3c_1}\\{2a_1-c_1}\end{pmatrix}+\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_2-b_2}\\{2b_2+3c_2}\\{2a_2-c_2}\end{pmatrix}=F(\boldsymbol{u})+F(\boldsymbol{v}).

\end{align}

2. Vi undersöker om \displaystyle F är homogen. Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a}\\{b}\\{c}\end{pmatrix}. Då är 

                  \displaystyle \lambda\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}{\lambda a}\\{\lambda b}\\{\lambda c}\end{pmatrix} och
\displaystyle F(\lambda\boldsymbol{u})=F\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right) 
                                     =\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a-\lambda b}\\{\lambda2b+\lambda3c}\\{2\lambda a-\lambda c}\end{pmatrix}
=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a-b}\\{2b+3c}\\{2a-c}\end{pmatrix}=\lambda F(\boldsymbol{u}).
                Alltså är \displaystyle F en linjär avbildning


Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_4