Tips och lösning till U 5.6
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Gör en enkel skiss av problemet med de fyra punkterna och ett origo. Kalla punkterna \displaystyle P_0 , \displaystyle P_1 , \displaystyle P_2 och \displaystyle P_3
Tips 2
Det gäller nu att finna ett par av vektorer som spänner upp parallellogrammet (det finns flera möjligheter). Genom att utgå från ett hörn, tex \displaystyle P_0 kan du bilda tre vektorer \displaystyle \overrightarrow{P_1P_0}, \displaystyle \overrightarrow{P_2P_0} och \displaystyle \overrightarrow{P_3P_0}. Dessa är antingen en diagonal eller en sida i parallellogrammet.
Tips 3
Tag sedan tex \displaystyle P_1 som utgångspunkt och bilda \displaystyle \overrightarrow{P_2P_1} och \displaystyle \overrightarrow{P_3P_1}. Nu kan du se vilka vektorer som är parallella och därmed bildar sidor. Arean erhålles sedan genom att ta vektorprodukten mellan ett par av vektorer som spännr upp parallellogrammen. Obs! Beräkningen kan ske på flera olika sätt. Detta ger ju en möjlighet till prövning.
Lösning
Kalla punkterna \displaystyle P_0 , \displaystyle P_1 , \displaystyle P_2
och \displaystyle P_3 . Om dessa är
hörnpunkter i en parallellogram bör vi hitta två par parallella
vektorer som bildar sidorna. Låt \displaystyle O vara origo i rummet och
bilda
\boldsymbol{u}=\overrightarrow{P_1P_0}=\overrightarrow{OP_1}-\overrightarrow{OP_0}= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1\end{pmatrix}
och
\boldsymbol{v}=\overrightarrow{P_2P_0}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_0}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}
Dessa vektorer spänner up parallellgrammen, ty parallellogrammens två
övriga sidor startar i \displaystyle P_1 och \displaystyle P_2 och slutar i \displaystyle P_3 och är
parallella med \displaystyle \boldsymbol{u} resp. \displaystyle \boldsymbol{v} enligt
\overrightarrow{P_3P_1}=\overrightarrow{OP_3}-\overrightarrow{OP_1}= \begin{pmatrix} 0 \\-2 \\ 2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\-1 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\-1 \\ 1\end{pmatrix}
\boldsymbol{v}=\overrightarrow{P_3P_2}=\overrightarrow{OP_3}-\overrightarrow{OP_2}= \begin{pmatrix} 0 \\- 2 \\ 2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1\\- 4 \\ -1\end{pmatrix} =\boldsymbol{u}
Eftersom
\displaystyle \boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}=
\begin{pmatrix} -5\\1 \\ -9\end{pmatrix}, så är arean
\displaystyle |\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}|=\sqrt{107} a.e.
