Tips och lösning till U 22.26

Tips 1

Alla tre frågorna löses enklast i en kanonisk bas.

Tips 2

Omskrivning på sedvanligt sätt med hjälp av egenvärden och egenvektorer som bas ger kurvans ekvation på formen \displaystyle

x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2=1\Leftrightarrow (2-\sqrt2)y_1^2+(2+\sqrt2)y_2^2=1.

Vi ser att detta är en ellips. För att beräkna arean skriver vi om ellipsen på den form som är angiven i uppgiften så att a och b kan identifieras.

Tips 3

För att erhålla de punkter som ligger längst bort resp närmast origo söker du skärningen med de nya axlarna. Resultatet transformeras sedan till den ursprungliga basen.

Lösning

Vi skriver kurvan på matrisform enligt

\displaystyle

1=x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2 =(x_1\ x_2) \left(\begin{array}{cc}1&-1\\-1&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\end{array}\right) =X^tAX,

där \displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1&-3\\-3&3\end{array}\right) . Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^t .

Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=2-\sqrt2 , och \displaystyle \lambda_2=2+\sqrt2 med tillhörande egenrum

\displaystyle E_{\lambda_1}=[(1,\sqrt2-1)^t] resp. \displaystyle E_{\lambda_2}=[(1,-\sqrt2-1)^t] .

I kanonisk bas, dvs i en ON-bas av egenvektorer och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY kan kurvan skrivas

\displaystyle

x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2=1\Leftrightarrow (2-\sqrt2)y_1^2+(2+\sqrt2)y_2^2=1.

Vi ser nu att kurvan är en ellips. Vi skriver ekvationen på en form så att vi kan identifiera \displaystyle a och \displaystyle b i uttrycket \displaystyle \frac{y^2_1}{a^2}+\frac{y^2_2}{b^2}=1 . Det gäller att

\displaystyle

(2-\sqrt2)y_1^2+(2+\sqrt2)y_2^2=1 \Leftrightarrow \frac{y_1^2}{\frac{1}{2-\sqrt2}}+\frac{y_2^2}{\frac{1}{2+\sqrt2}}=1.

Vi får att \displaystyle a=\sqrt{2-\sqrt2} och \displaystyle b=\sqrt{2+\sqrt2} , så att arean är

\displaystyle

\pi ab=\pi\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt2}} \frac{1}{\sqrt{2+\sqrt2}}=\pi\frac{1}{\sqrt2}=\pi\frac{\sqrt2}{2}.