Tips och lösning till U 22.19c
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi tar hjälp av anmärkning 16.66.
Tips 2
Vi börjar med att konstatera att matrisen är ortogonal och icke symmetrisk. vidare är dess determinant=1. Enl anmärkning 16.66 har vi alltså att göra med en rotation. Återstår att beräkna rotationsaxel och rotationsvinkel samt med eller moturs.
Tips 3
Vi vet nu att det är en rotation. Vi får ett egenvärde som är ett och den tillhörande egenvektorn blir rotationsaxel (rotationsaxeln avbildas ju på sig själv). För att få rotationsvinkeln tar vi en en vektor som ligger i det plan som är ortogonalt mot rotationsaxeln (rita figur) och avbildar den med hjälp av den givna matrisen. Med hjälp av skalärprodukt beräknar vi sedan vinkeln mellan dessa vektorer.
Lösning
\displaystyle F :s matris \displaystyle A_3 är ortogonal med \displaystyle \det A_3=1 . Vidare har \displaystyle F endast ett reellt egenvärde \displaystyle \lambda_1=1 .
De två andra är komplexa \displaystyle \lambda_{2,3}=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt3}{2} . Alltså är \displaystyle F en vridning moturs kring en rotationsaxel parallell med egenvektorn \displaystyle t(1,-1,1)^t tillhörande \displaystyle \lambda_1 .
Vridningen sker i normalplanet \displaystyle x_1-x_2+x_3=0 som är ortogonalt mot rotationsaxeln. Vi tar en vektor i normalplanet, t.ex., väljer vi \displaystyle (1,1,0)^t och bestämmer vinkeln med dess bild
F((1,1,0)^t)= \frac{1}{3} \left(\begin{array}{rrr} 2&1&2\\ {-2}&2&1\\ {-1}&{-2}&2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 1\\1\\0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 1\\0\\-1 \end{array}\right).
Vinkeln \displaystyle \theta kan beräkna enligt
\cos\theta=\frac{F((1,1,0)^t)\cdot(1,1,0)^t}{|F((1,1,0)^t)|\cdot|(1,1,0)^t|}=\frac{1}{2},
dvs \displaystyle \theta=\frac{\pi}{3} .
Alltså är \displaystyle F en rotation moturs vinkeln \displaystyle \frac{\pi}{3} kring en axella parallell med linjen \displaystyle t(1,-1,1)^t .
