Tips och lösning till U 22.15a

Tips 1

Utnyttja att matrisen är symmetrisk.

Tips 2

Kunskapen säger att du vid olika egenvärden kommer att få en ON-bas av egenvektorer.

Tips 3

Egenvärden o egenvektorer beräknas på sedvanligt sätt. Kontrollera att de är ortogonal (enl spektralsatsen).

Lösning

Matrisen \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} är symmetrisk och därmed följer av spektralsatsen att \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} är diagonaliserbar. Vidare bildar egenvektorerna en ON-bas för planet.

Egenvärdena är \displaystyle \lambda_1=1 och \displaystyle \lambda_2=1/3 med tilhörande egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr}1\\-1 \end{array}\right)

och \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr} 1\\1 \end{array}\right).