Tips och lösning till U 15.1
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Grundidéen är att lösa den sk normalekvationen som finns beskriven i Definition 14.4.
Tips 2
För att få fram matrisen A i normalekvationen sätter vi in punkterna i linjens ekvation och får då ekvationssystemet\left\{\begin{array}{rcrcr}-k&+&m&=&-3\\k&+&m&=&-2\\3k&+&m&=&5\end{array}\right.
\quad\mbox{dvs}\quad
\left(\begin{array}{rr}-1&1\\1&1\cr3&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}k\\m\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{r}-3\\-2\\5\end{array}\right)
\quad\mbox{dvs}\quad A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}.
Tips 3
Ekvationssystemet saknar lösning, vilket du kan se av den figur som du förhoppningsvis har ritat. Om systemet skulle ha lösning skulle punkterna ligga på samma räta linje. Nu gör de inte det så vi löser i stället normalekvationenA^tA\boldsymbol{x}=A^t\boldsymbol{b}
Lösning
Vi sätter vi in punkterna i linjens ekvation \displaystyle y=kx+m och får ekvationsystemet:
\left\{\begin{array}{rcrcr}-k&+&m&=&-3\\k&+&m&=&-2\\3k&+&m&=&5\end{array}\right.
\quad\mbox{dvs}\quad
\left(\begin{array}{rr}-1&1\\1&1\cr3&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}k\\m\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{r}-3\\-2\\5\end{array}\right)
\quad\mbox{dvs}\quad A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}.
Detta system saknar lösning så vi löser normalekvationen
A^tA\boldsymbol{x}=A^t\boldsymbol{b}
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rrr}-1&1&3\\1&1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}-1&1\\1&1\cr3&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}k\\m\end{array}\right) =\left(\begin{array}{rrr}-1&1&3\\1&1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-3\\-2\\5\end{array}\right) \quad\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rr}11&3\\3&3\end{array}\right.|\begin{array}{r}k\\m\end{array}\right)
och får lösningen \displaystyle k=2 och \displaystyle m=-2 . Linjen som ansluter bäst till punkterna är alltså \displaystyle y=2x-2 .
