Tips och lösning till U 11.17
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Börja med att lista villkoren på W.
Tips 2
Vi ska nu konstruera W. Idéen är att
1. Först ta reda på om U och V har några gemensamma vektorer. Vi låter den/de vektorerna få ingå i W. Då har vi skapat ett snitt med U resp V som är just den vektorn/de vektorerna. 2. Fyll sedan på med vektorer från U resp V till W så att W får rätt dimension på W och rätt dimension på snittet.
Tips 3
Vi börjar med att söka de gemensamma vektorerna hos U och V genom att lösa ekvationssystemet\boldsymbol{x}=\lambda_1 (1,2,0,1,-4)^t + \lambda_2 (1,1,1,0,-3)^t+\lambda_3(0,1,2,-3,0)^t \qquad=\mu_1 (1,-1,1,3,0)^t +\mu_2 (0,1,1,0,0)^t + \mu_3(1,1,0,1,1)^t. \qquad
Ekvationssystemet får lösningen \displaystyle \boldsymbol{x}=t(-8,30,5,-30,3)^t . Detta betyder att U och V har en gemensam vektor och vi låter den ingå i W. Fyll sedan på med en vektorer från U och en vektor från V till W. Vi har du rätt dimension på W samt de två snitten.
Lösning
Vi börjar med att studera villkoren på underrummet
\displaystyle W . Det första vilkkoret som säger att \displaystyle \dim W=3 betyder att
\displaystyle W spänns upp av tre linjärt oberoende vektorer.
Att \displaystyle \dim W\cap U=2 betyder att \displaystyle W och \displaystyle U har två vektorer
gemensammt.
Till sist betyder \displaystyle \dim W\cap V=2 att \displaystyle W och \displaystyle V har två vektorer gemensamt. De två sista villkoren föreslår att vi undersöker om \displaystyle U och \displaystyle V har gemensamma vektorer \displaystyle \boldsymbol{x} sådana att
\boldsymbol{x}=\lambda_1 (1,2,0,1,-4)^t + \lambda_2 (1,1,1,0,-3)^t+\lambda_3(0,1,2,-3,0)^t \qquad(*)
\boldsymbol{x}=\mu_1 (1,-1,1,3,0)^t +\mu_2 (0,1,1,0,0)^t + \mu_3(1,1,0,1,1)^t. \qquad(**)
Vi flyttar över vänstra ledet till det högra ledet och får ett ett ekvationsystem i dem 6 obekanta parametrarna. Gausselimination ger
\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&0&-1&0&-1\\ 2&1&1&1&-1&-1\\ 0&1&2&-1&-1&0\\ 1&0&-3&-3&0&-1\\ -4&-3&0&0&0&-1\\ \end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right) \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&0&-1&0&-1\\ 0&-1&1&3&-2&1\\ 0&0&3&2&-2&1\\ 0&0&-4&-5&1&-1\\ 0&0&1&-1&-1&-4\\ \end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right).
Vi byter plats på rad 3 och och rad 5 och fortsätter med radoperationerna:
\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&0&-1&0&-1\\ 0&-1&1&3&-1&1\\ 0&0&1&-1&-1&-4\\ 0&0&-4&-5&1&-1\\ 0&0&3&2&-2&1\\ \end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&0&-1&0&-1\\ 0&-1&1&3&-1&1\\ 0&0&1&-1&-1&-4\\ 0&0&0&-9&-3&-17\\ 0&0&0&5&1&13\\ \end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)
dvs
\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&0&-1&0&-1\\ 0&-1&1&3&-1&1\\ 0&0&1&-1&-1&-4\\ 0&0&0&-9&-3&-17\\ 0&0&0&0&-6&32\\ \end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right).
Sätt \displaystyle \mu_3=3t . Då är \displaystyle \mu_2=16t , \displaystyle \mu_1=-11t , \displaystyle \lambda_3=17t , \displaystyle \lambda_2=-29t och \displaystyle \lambda_3=21t .
Sätter vi in dessa värden i (*) eller i (**) så får vi att \displaystyle \boldsymbol{x}=t(-8,30,5,-30,3)^t .
Därmed kan vi konstatera att \displaystyle U\cap V=[(-8,30,5,-30,3)^t] .
Om vi väljer att låta \displaystyle (-8,30,5,-30,3)^t ligga i \displaystyle W , \displaystyle W=[(-8,30,5,-30,3)^t] . så får vi att \displaystyle \dim W\cap U=1 samt att \displaystyle \dim W\cap V=1 .
Vi låter vidare någon av vektorerna från \displaystyle U säg \displaystyle (1,2,0,1,-4)^t ligga i \displaystyle W , dvs \displaystyle W=[(1,2,0,1,-4)^t,(-8,30,5,-30,3)^t] får vi att \displaystyle \dim W\cap U=2 .
Till sist läter vi även någon vektor från \displaystyle V , t.ex., \displaystyle (1,-1,1,3,0)^t få ligga i \displaystyle W , så att \displaystyle W=[(1,2,0,1,-4)^t,(1,-1,1,3,0)^t , (-8,30,5,-30,3)^t] . Därmed är alla villkoren på \displaystyle W uppfyllda.
