Tips och lösning till U 11.5b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Observera att U o V har samma ekvation.
Tips 2
Då det gäller U och W så har de olika ekvationer. Vi ska alltså finna de vektorer vars koordinater uppfyller båda ekvationerna. Detta leder till ett ekvationssystem.
Tips 3
Ekvationssystemet som tar fram koordinaterna för de gemensamma vektorerna blir således \displaystyle \left\{\begin{array}{rcr} x_1+x_2-x_3-x_4&=&0\\ x_1-x_4&=&0 \end{array}\right.. Lösningen till detta system blir en parameterlösning.
Lösning
i) Vi har visat att båda underrummen
U=[(1,1,1,1)^t,(1,-1,1,-1)^t,(1,1,-1,-1)^t]
och
V=[(1,0,0,1)^t,(0,1,1,0)^t,(1,-1,0,0)^t]
är ett och samma hyperplan \displaystyle \{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1+x_2-x_3-x_4=0\} . Detta betyder att \displaystyle U=V och i så fall \displaystyle U\cap V=U=V .
ii) \displaystyle U\cap W är mängden av alla vektorer som ligger i både \displaystyle U och \displaystyle W . Eftersom
U=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1+x_2-x_3-x_4=0\}.
och
W=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1-x_4=0\},
så är
U\cap W=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1+x_2-x_3-x_4=0,\quad x_1-x_4=0\}.
Därmed kräver vi av en vektor \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in {\bf R}^4 ska tillhöra både \displaystyle U och \displaystyle W att dess koordinater \displaystyle x_1 , \displaystyle x_2 , \displaystyle x_3 och \displaystyle x_4 satisfierar båda ekvationerna samtidigt, dvs
\left\{\begin{array}{rcr} x_1+x_2-x_3-x_4&=&0\\ x_1-x_4&=&0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr} x_2-x_3&=&0\\ x_1-x_4&=&0 \end{array}\right.
Sätter vi \displaystyle x_4=t och \displaystyle x_3=s så får vi att \displaystyle x_1=t och \displaystyle x_2=s . Vi får därmed att vektorerna som ligger i snittet \displaystyle U\cap U är alla av typen \displaystyle \boldsymbol{u}=s(0,1,1,0)^t+t(1,0,0,1)^t . Alltså är
U\cap W=[(0,1,1,0)^t,(1,0,0,1)^t].
