Tips och lösning till U 11.2c
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Använd definition 10.2.
Tips 2
I detta fall skall våra punkter uppfylla två villkor. Nämligen att ligga i de två planen. Vår erfarenhet säger oss att detta blir en rät linje. Tag fram ekvationen för denna rätta linje!
Tips 3
Undersök nu om summan av två punkter som ligger på linjen fortfarande ligger kvar på linjen som går genom origo. Eftersom detta gäller så måste du även se om en konstant \displaystyle \lambda gånger en punkt på linjen ligger kvar på linjen.
Lösning
Mängden \displaystyle M_3 består av alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3)^t som
ligger i båda planen \displaystyle x_1-2x_2+3x_3=0 och \displaystyle x_2-x_3=0 , dvs \displaystyle M_3 är
skärningsmängden för båda planen. För ett \displaystyle \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3)^t\in
M_3 gäller därför att
\left\{\begin{array}{rcl}x_1-2x_2+3x_3&=&0\\x_2-x_3&=&0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}x_1&=&-t\\x_2&=&t\\x_3&=&t\end{array}\right.
Alltså, \displaystyle M_3 är den räta linjen \displaystyle \boldsymbol{x}=t(-1,1,1)^t . Vi ska nu undersöka om \displaystyle M_3 är ett underrum. Låt \displaystyle \boldsymbol{x}=t(-1,1,1)^t\in M_3 och \displaystyle \boldsymbol{y}=s(-1,1,1)^t\in M_3 . Då är \displaystyle \boldsymbol{z} = \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=(s+t)(-1,1,1)^t\in M_3 . Vidare är \displaystyle \lambda\boldsymbol{x}=\lambda t(-1,1,1)^t\in M_3 . Alltså är \displaystyle M_3 ett underrum.
