Tips och lösning till U 9.9
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Utnyttja sats 8.17 punkt 1 och 5. Observera att det är antalet lösningar du ska bestämma.
Tips 2
Vår matris A är en sk koefficientmatris, dvs dess element är koefficienterna i ekvationssystemets vänsterled. Systemet har entydig lösning om determinanten är skild från noll. Vilka är de andra alternativen?
Tips 3
I denna typ av problem så kan det förekomma tre fall: Entydig lösning (dvs en lösning) (determinanten är skild från noll), ingen lösning eller oändligt antal lösningar (determinanten är lika med noll. I detta fall styrs detta av värdet på a som i sin tur bestämmer om determinanten är noll eller skild från noll.
Lösning
Ekvationssystemet kan skrivas på matrisformen
\displaystyle A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} där
A=\left( \begin{array}{rrr} 1& -1& a\\ 2& -1& 1\\ a& 1& -1\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x} =\left(\begin{array}{rrr} x\\ y\\ z\end{array}\right), \quad \boldsymbol{b} =\left(\begin{array}{rrr} 1\\ -1\\ 1\end{array}\right).
Enligt Sats 8.17 har ekvationssystemet en entydig lösning om \displaystyle \det A.
Enligt Sats 8.17 har ekvationssystemet en entydig lösning om
\displaystyle \det A. Vi utför radoperationer på rad 1 för att få två nollor i
kolonn2. Det följer att
\begin{array}{ll} \det A&=&\left| \begin{array}{rrr} 1& -1& a\\ 2& -1& 1\\ a& 1& -1\end{array}\right| =\left| \begin{array}{rrr} 1& -1& a\\ 1& 0& 1-a\\ 1+a& 0& a-1\end{array}\right|\\
&=&(-1)^{(1+2)}\cdot 1 \cdot \left| \begin{array}{rr} 1& 1-a\\ 1+a& a-1\end{array}\right|\\
&=&a^2+a-2=(a-1)(a+2)=0
\end{array}
för \displaystyle a-2,1 . Alltså systemet har en entydig lösning om \displaystyle a\neq-2,1 . Vi undersöker nu lösbarheten hos systemet då \displaystyle a=-2,1 och börjar med
Fall 1: \displaystyle a=1 . Gausselimination ger
\left(\begin{array}{rrr}1&{-1}&1\\2&{-1}&1\\1&1&{-1}\end{array}\right.\left|\begin{array}{r}1\\{-1}\\1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r}1&{-1}&1&1\\0&{1}&{-1}&-3\\0&2&{-2}&0\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r}1&{-1}&1&1\\0&{1}&{-1}&-3\\0&0&0&6\end{array}\right).
Sista raden visar på motsägelse och systemet saknar därmed lösning.
Falla 2: \displaystyle a=-2 . Gausselimination ger
\left(\begin{array}{rrr}1&{-1}&-2\\2&{-1}&1\\-2&1&{-1}\end{array}\right.\left| \begin{array}{r}1\\{-1}\\1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&{-1}&1\\0&{1}&5\\0&0&{0}\end{array}\right.\left| \begin{array}{r}1\\-3\\6\end{array}\right)
Vi sätter \displaystyle z=t . Då får vi \displaystyle y=-3-5t , \displaystyle x=-2-3t . Alltså, vi får parameterlösningen \displaystyle \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{r} -2\\ -3\\ 0\end{array}\right) +t \left(\begin{array}{r} -3\\ -5\\ 1\end{array}\right), \displaystyle t\in{\bf R} .
