Tips och lösning till U 7.12a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Eftersom både \displaystyle A och \displaystyle B är av typen \displaystyle 3\times3, så är \displaystyle X också av typen \displaystyle 3\times3.
Tips 2
I detta fall då A är kvadratisk så kommer det att finnas lösning till ekvationen om och endast om A har invers. För att få loss X skall vi sedan multiplicera båda led från vänster med \displaystyle A^{-1}.
Tips 3
Ta nu reda på \displaystyle A^{-1} på sedvanligt sätt. X erhålles sedan ur \displaystyle X=A^{-1}B.
Lösning
Eftersom både \displaystyle A och \displaystyle B är av typen \displaystyle 3\times3, så är
\displaystyle X också av typen \displaystyle 3\times3. Vi bestämmer om möjligt inversen till
\displaystyle A och löser
\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\mbox{rad1-rad2}\\ \mbox{rad1-rad3}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&-1\\0&1&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&1&0\\-1&0&1\end{array}\right)
\Leftrightarrow \{\mbox{rad2 och rad3 byter plats}\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&0\\0&1&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\-1&1&0\end{array}\right)
\Leftrightarrow \{\mbox{rad2-rad3}\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\0&1&-1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right).
\Leftrightarrow \{\mbox{rad3-rad1}\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&1&-1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right)
Alltså är
\displaystyle A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1&1&-1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right).
\displaystyle AX=B har därmed lösningen
X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&2&3\\-1&1&3\end{array}\right).
