Tips och lösning till U 7.11

Tips 1

Observera att i detta fall har inte matrisen A någon invers eftersom den inte är kvadratisk. Kan man ändå lösa ekvationen?

Tips 2

Eftersom A är en 32 matris och B är en 22, så måste X vara en 23 om systemet går att lösa. Metoden vi använder är att ansätta X=x11x21x12x22x13x23 

Tips 3

Vi kan då söka lösningar till systemet XA=B2x11−x12+x132x21−x22+x23−4x11+3x12−2x13−4x21+3x22−2x23=3−2−66  som kan delas upp i två mindre system. I detta fall är det inte självklart att vi får en entydig lösning som vi fått i de tidigare uppgifterna. Hade inversen till A funnits (som i de tidigare uppgifterna) så kan ju matrisekvationen bara ge ett resultat.

Lösning

Eftersom A är en 32 matris och B är en 22, så måste X vara en 23.

Låt X=x11x21x12x22x13x23 

Då är

XA=B2x11−x12+x132x21−x22+x23−4x11+3x12−2x13−4x21+3x22−2x23=3−2−66 

Systemet ovan kan delas in i två mindre oberoende ekvationssystem

2x11−x12+x13−4x11+3x12−2x13==3−6och2x21−x22+x23−4x21+3x22−2x23==−26 

Gausselimination ger

2x11−x12+x13x12==30och2x21−x22+x23x22==−22 

Sätter vi x11=t och x21=s får vi att x13=3−2t resp. x23=−2s. Detta ger att X=ts023−2t−2s , stR.