Tips och lösning till U 7.11

Tips 1

Observera att i detta fall har inte matrisen A någon invers eftersom den inte är kvadratisk. Kan man ändå lösa ekvationen?

Tips 2

Eftersom \displaystyle A är en \displaystyle 3\times2 matris och \displaystyle B är en \displaystyle 2\times2, så måste \displaystyle X vara en \displaystyle 2\times3 om systemet går att lösa. Metoden vi använder är att ansätta \displaystyle X=\left(\begin{array}{rrr}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}\end{array}\right)

Tips 3

Vi kan då söka lösningar till systemet \displaystyle

XA=B\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}{2x_{11}-x_{12}+x_{13}}& {-4x_{11}+3x_{12}-2x_{13}}\\ {2x_{21}-x_{22}+x_{23}}&{-4x_{21}+3x_{22}-2x_{23}}\end{array}\right) =\left(\begin{array}{rr} 3 & -6\\ -2 & 6\end{array}\right).

som kan delas upp i två mindre system. I detta fall är det inte självklart att vi får en entydig lösning som vi fått i de tidigare uppgifterna. Hade inversen till A funnits (som i de tidigare uppgifterna) så kan ju matrisekvationen bara ge ett resultat.

Lösning

Eftersom \displaystyle A är en \displaystyle 3\times2 matris och \displaystyle B är en \displaystyle 2\times2, så måste \displaystyle X vara en \displaystyle 2\times3.

Låt \displaystyle X=\left(\begin{array}{rrr}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}\end{array}\right)

Då är

\displaystyle

XA=B\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}{2x_{11}-x_{12}+x_{13}}& {-4x_{11}+3x_{12}-2x_{13}}\\ {2x_{21}-x_{22}+x_{23}}&{-4x_{21}+3x_{22}-2x_{23}}\end{array}\right) =\left(\begin{array}{rr} 3 & -6\\ -2 & 6\end{array}\right).

Systemet ovan kan delas in i två mindre oberoende ekvationssystem

\displaystyle

\left\{\begin{array}{rrr}2x_{11}-x_{12}+x_{13}&=&3\\ -4x_{11}+3x_{12}-2x_{13} &=& -6 \end{array}\right. \qquad \mbox{och} \qquad \left\{\begin{array}{rrr}2x_{21}-x_{22}+x_{23}&=&-2\\ -4x_{21}+3x_{22}-2x_{23} &=& 6 \end{array}\right.

Gausselimination ger

\displaystyle

\left\{\begin{array}{rrr}2x_{11}-x_{12}+x_{13}&=&3\\ x_{12}&=& 0 \end{array}\right. \qquad \mbox{och} \qquad \left\{\begin{array}{rrr}2x_{21}-x_{22}+x_{23}&=&-2\\ x_{22} &=& 2 \end{array}\right.

Sätter vi \displaystyle x_{11}=t och \displaystyle x_{21}=s får vi att \displaystyle x_{13}=3-2t resp. \displaystyle x_{23}=-2s. Detta ger att \displaystyle X=\left(\begin{array}{rrr}t&0&3-2t\\s&2&-2s\end{array}\right), \displaystyle s,t,\in{\bf R}.