Tips och lösning till U 7.10
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Om A är en 3x3 matris o B en 2x3 matis så måste X vara en 2x3 matris. Kontrollera att du förstår detta. Vidare så måste A vara en kvadratisk matris för att systemet skall vara möjligt att lösa. Varför då?
Tips 2
A måste vara kvadratisk eftersom vi måste söka dess invers och det är bara kvadratiska matriser som har invers. För att få loss X måste vi i detta fall multiplicera båda led med \displaystyle A^{-1} från höger.
Tips 3
Återstår nu att ta fram inversen till A. Detta leder till samma typ av ekvationssystem som vi hade i föregående uppgift. Detta löses med Gausselimination.
Lösning
\left(\begin{array}{rrr}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\mbox{2rad1-rad2}\\ \mbox{rad1-rad3}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&1&-1\\0&-1&2\\0&-2&2\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\-2&1&0\\-1&0&1\end{array}\right)
\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\mbox{-2rad2-rad3}\\ \mbox{(-1)rad2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&1&-1\\0&-1&2\\0&0&-2\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\-2&1&0\\-3&-2&1\end{array}\right)
\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&1&-1\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\2&-1&0\\-3/2&1&-1/2\end{array}\right).
Vi jobbar uppåt i systemet och får efter ett antal radopertaioner att
\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1/2&0&1/2\\-1&1&-1\\-3/2&1&-1/2\end{array}\right).
Alltså är
\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\-2&2&-2\\-3&2&-1\end{array}\right).
Lösningen \displaystyle X=BA^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}-3&2&0\\-4&5&-2\end{array}\right).
