Tips och lösning till U 5.8
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Använd formeln för volymprodukt. Definition 4.15.
Tips 2
Det spelar ingen roll i vilken ordning du tar vektorerna. Kontrollera att du inser det!
Tips 3
Vid beräkningen kan du använda två metoder. Antingen beräknar du vektorprodukten för sej och sedan skalärmultiplicerar du. Alternativt använder du formel 4.5 i exempel 4.10.
Lösning
Kalla vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}, \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{w}.
Volymen av den parallellepiped som spänns upp av
vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}, \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{w}
ges av \displaystyle |(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{w}|.
Vi har att
\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}= \left|\begin{array}{rrr}\boldsymbol{e}_1&\boldsymbol{e}_2&\boldsymbol{e}_3\\3&1&7\\2&-3&5\end{array}\right|= 26\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2-11\boldsymbol{e}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}26\\-1\\11\end{array}\right).
Vidare gäller att volymprodukten ges av
(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{w}=\left(\begin{array}{r}26\\-1\\11\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{r}9\\0\\1\end{array}\right)=223.
Volymen är då \displaystyle |(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{w}|=223 v.e.
Alternativt kan vi beräkna volymprodukten enligt formel (4.5) i Exempel 4.10:
\begin{array}{lcl}
(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{w}&=&\left|\begin{array}{rrr}3&1&7\\2&-3&5\\9&0&1\\\end{array}\right|\\
&=&\mbox{gå längs 1:a raden och plocka ner elementen med minus på andra}\\
&=&3\cdot\left|\begin{array}{rrr}\star&1&7\\2&-3&5\\9&0&1\\\end{array}\right|
-1\cdot\left|\begin{array}{rrr}3&\star&7\\2&-3&5\\9&0&1\\\end{array}\right|
+7\cdot\left|\begin{array}{rrr}3&1&\star\\2&-3&5\\9&0&1\\\end{array}\right|\\
&=&\mbox{stryk den rad och kolonn som }\star\mbox{ står på}\\
&=&3\cdot\begin{vmatrix}{-3}&5\\1&-1\end{vmatrix}
\cdot\begin{vmatrix}2&5\\9&1\end{vmatrix}
7\cdot\begin{vmatrix}2&-3\\9&0\end{vmatrix}=223.
\end{array}
